Абсолютная и относительная погрешности. Абсолютная и относительная погрешности измерений

В физике и в других науках весьма часто приходится производить измерения различных величин (например, длины, массы, времени, температуры, электрического сопротивления и т. д.).

Измерение – процесс нахождения значения физической величины с помощью специальных технических средств – измерительных приборов.

Измерительным прибором называют устройство, с помощью которого осуществляется сравнение измеряемой величины с физической величиной того же рода, принятой за единицу измерения.

Различают прямые и косвенные методы измерений.

Прямые методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин находятся непосредственным сравнением измеряемого объекта с единицей измерения (эталоном). Например, измеряемая линейкой длина какого-либо тела сравнивается с единицей длины – метром, измеряемая весами масса тела сравнивается с единицей массы – килограммом и т. д. Таким образом, в результате прямого измерения определяемая величина получается сразу, непосредственно.

Косвенные методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин вычисляются по результатам прямых измерений других величин, с которыми они связаны известной функциональной зависимостью. Например, определение длины окружности по результатам измерения диаметра или определение объема тела по результатам измерения его линейных размеров.

Ввиду несовершенства измерительных приборов, наших органов чувств, влияния внешних воздействий на измерительную аппаратуру и объект измерения, а также прочих факторов все измерения можно производить только с известной степенью точности; поэтому результаты измерений дают не истинное значение измеряемой величины, а лишь приближенное. Если, например, вес тела определен с точностью до 0,1 мг, то это значит, что найденный вес отличается от истинного веса тела менее чем на 0,1 мг.

Точность измерений – характеристика качества измерений, отражающая близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины.

Чем меньше погрешности измерений, тем больше точность измерений. Точность измерений зависит от используемых при измерениях прибо- ров и от общих методов измерений. Совершенно бесполезно стремиться при измерениях в данных условиях перейти за этот предел точности. Можно свести к минимуму воздействие причин, уменьшающих точность измерений, но полностью избавиться от них невозможно, то есть при измерениях всегда совершаются более или менее значительные ошибки (погрешности). Для увеличения точности окончательного результата всякое физическое измерение необходимо делать не один, а несколько раз при одинаковых условиях опыта.

В результате i-го измерения (i – номер измерения) величины "Х”, получается приближенное число Х i , отличающееся от истинного значения Хист на некоторую величину ∆Х i = |Х i – Х|, которая является допущенной ошибкой или, другими словами, погрешностью. Истинная погрешность нам не известна, так как мы не знаем истинного значения измеряемой величины. Истинное значение измеряемой физической величины лежит в интервале

Х i – ∆Х < Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

где Х i – значение величины Х, полученное при измерении (то есть измеренное значение); ∆Х – абсолютная погрешность определения величины Х.

Абсолютная ошибка (погрешность) измерения ∆Х – это абсолютная величина разности между истинным значением измеряемой величины Хист и результатом измерения X i: ∆Х = |Х ист – X i |.

Относительная ошибка (погрешность) измерения δ (характеризующая точность измерения) численно равна отношению абсолютной погрешности измерения ∆Х к истинному значению измеряемой величины Х ист (часто выражается в процентах): δ = (∆Х / Х ист) 100% .

Погрешности или ошибки измерений можно разделить на три класса: систематические, случайные и грубые (промахи).

Систематической называют такую погрешность, которая остается постоянной или закономерно (согласно некоторой функциональной зависимости) изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Такие погрешности возникают в результате конструктивных особенностей измерительных приборов, недостатков принятого метода измерений, каких-либо упущений экспериментатора, влияния внешних условий или дефекта самого объекта измерения.

В любом измерительном приборе заложена та или иная систематическая погрешность, которую невозможно устранить, но порядок которой можно учесть. Систематические погрешности либо увеличивают, либо уменьшают результаты измерения, то есть эти погрешности характеризуются постоянным знаком. Например, если при взвешивании одна из гирь имеет массу на 0,01 г большую, чем указано на ней, то найденное значение массы тела будет завышенным на эту величину, сколько бы измерений ни производилось. Иногда систематические ошибки можно учесть или устранить, иногда этого сделать нельзя. Например, к неустранимым ошибкам относятся ошибки приборов, о которых мы можем лишь сказать, что они не превышают определенной величины.

Случайными ошибками называют ошибки, которые непредсказуемым образом изменяют свою величину и знак от опыта к опыту. Появление случайных ошибок обусловлено действием многих разнообразных и неконтролируемых причин.

Например, при взвешивании весами этими причинами могут быть колебания воздуха, осевшие пылинки, разное трение в левом и правом подвесе чашек и др. Случайные ошибки проявляются в том, что, произведя измерения одной и той же величины Х в одинаковых условиях опыта, мы получаем несколько различающихся значений: Х1, Х2, Х3,…, Х i ,…, Х n , где Х i – результат i-го измерения. Установить какую-либо закономерность между результатами не удается, поэтому результат i - го измерения Х считается случайной величиной. Случайные ошибки могут оказать определенное влияние на отдельное измерение, но при многократных измерениях они подчиняются статистическим законам и их влияние на результаты измерений можно учесть или значительно уменьшить.

Промахи и грубые погрешности – чрезмерно большие ошибки, явно искажающие результат измерения. Этот класс погрешностей вызван чаще всего неправильными действиями экспериментатора (например, из-за невнимательности вместо показания прибора «212» записывается совершенно другое число – «221»). Измерения, содержащие промахи и грубые погрешности, следует отбрасывать.

Измерения могут быть проведены с точки зрения их точности техническим и лабораторным методами.

При использовании технических методов измерение проводится один раз. В этом случае удовлетворяются такой точностью, при которой погрешность не превышает некоторого определенного, заранее заданного значения, определяемого погрешностью примененной измерительной аппаратурой.

При лабораторных методах измерений требуется более точно указать значение измеряемой величины, чем это допускает ее однократное измерение техническим методом. В этом случае делают несколько измерений и вычисляют среднее арифметическое полученных значений, которое принимают за наиболее достоверное (истинное) значение измеряемой величины. Затем производят оценку точности результата измерений (учет случайных погрешностей).

Из возможности проведения измерений двумя методами вытекает и существование двух методов оценки точности измерений: технического и лабораторного.

Cтраница 1

Абсолютная ошибка определения не превышает 0 01 мкг фосфора. Этот метод был применен нами для определения фосфора в азотной, уксусной, соляной и серной кислотах и ацетоне с предварительным выпариванием их.  

Абсолютная ошибка определения составляет 0 2 - 0 3 мг.  

Абсолютная ошибка определения цинка в цинк-марганцевых ферритах предложенным методом не превышает 0 2 % отн.  

Абсолютная ошибка определения углеводородов С2 - С4, при содержании их в газе 0 2 - 5 0 %, составляет 0 01 - 0 2 % соответственно.  

Здесь Ау - - абсолютная ошибка определения г /, которая получается в результате ошибки Да в определении а. Например, относительная ошибка квадрата числа в два раза больше ошибки определения самого числа, а относительная ошибка числа, стоящего под кубическим корнем, составляет просто одну треть от ошибки определения числа.  

Более сложные соображения необходимы при выборе меры сравнений абсолютных ошибок определения времени начала аварии TV - Ts, где Tv и Ts - соответственно время восстановленной и реальной аварии. По аналогии здесь может использоваться среднее время добега-ния пика загрязнений от реального сброса до тех точек мониторинга, которые фиксировали аварию за время прохождения загрязнений Tsm. Вычисление достоверности определения мощности аварий основано на расчете относительной ошибки MV - Ms / Мв, где Mv и Ms - соответственно восстановленная и реальная мощности. Наконец, относительная ошибка определения продолжительности аварийного выброса характеризуется величиной rv - rs / re, где rv и rs - соответственно восстановленная и реальная продолжительности аварий.  

Более сложные соображения необходимы при выборе меры сравнений абсолютных ошибок определения времени начала аварии TV - Ts, где Tv и Ts - соответственно время восстановленной и реальной аварии. По аналогии здесь может использоваться среднее время добега-ния пика загрязнений от реального сброса до тех точек мониторинга, которые фиксировали аварию за время прохождения загрязнений Tsm. Вычисление достоверности определения мощности аварий основано на расчете относительной ошибки Mv - Ms / Ms, где Mv и Ms - соответственно восстановленная и реальная мощности. Наконец, относительная ошибка определения продолжительности аварийного выброса характеризуется величиной rv - rs / rs, где rv и rs - соответственно восстановленная и реальная продолжительности аварий.  

При одной и той же абсолютной ошибке измерения ау абсолютная ошибка определения количества ах уменьшается с увеличением чувствительности метода.  

Поскольку в основе ошибок лежат не случайные, а систематические погрешности, итоговая абсолютная ошибка определения присосов может достигать 10 % теоретически необходимого количества воздуха. Только при недопустимо неплотных топках (А а0 25) общепринятый метод дает более или менее удовлетворительные результаты. Описанное хорошо известно наладчикам, которые при сведении воздушного баланса плотных топок нередко получают отрицательные значения присосов.  

Анализ погрешности определения величины пэт показал, что она складывается из 4 составляющих: абсолютной ошибки определения массы матрицы, емкости образца, взвешивания, относительной ошибки за счет флуктуации массы образца около равновесного значения.  

При соблюдении всех правил отбора, отсчета объемов и анализа газов при помощи газоанализатора ГХП-3 общая абсолютная ошибка определения содержания С02 и О2 не должна превышать 0 2 - 0 4 % истинной их величины.  

Из табл. 1 - 3 можно сделать заключение, что используемые нами данные для исходных веществ, взятые из разных источников, имеют сравнительно небольшие различия, которые лежат в пределах абсолютных ошибок определения этих величин.  

Случайные ошибки могут быть абсолютными и относительными. Случайную ошибку, имеющую размерность измеряемой величины, называют абсолютной ошибкой определения. Среднее арифметическое значение абсолютных ошибок всех отдельных измерений называют абсолютной ошибкой метода анализа.  

Величина допустимого отклонения, или доверительный интервал, устанавливается не произвольно, а вычисляется из конкретных данных измерений и характеристик используемых приборов. Отклонение результата отдельного измерения от истинного значения величины называется абсолютной ошибкой определения или просто ошибкой. Отношение абсолютной ошибки к измеряемой величине называется относительной ошибкой, которую обычно выражают в процентах. Знание ошибки отдельного измерения не имеет самостоятельного значения, и во всяком серьезно поставленном эксперименте должно проводиться несколько параллельных измерений, по которым и вычисляют ошибку эксперимента. Ошибки измерений в зависимости от причин их возникновения делятся на три вида.  

Инструкция

В первую очередь, проведите несколько измерений прибором одной и той же величины, чтобы иметь возможность действительное значение. Чем больше будет проведено измерений, тем точнее будет результат. Например, взвесьте на электронных весах. Допустим, вы получили результаты 0,106, 0,111, 0,098 кг.

Теперь посчитайте действительное значение величины (действительное, поскольку истинное найти невозможно). Для этого сложите полученные результаты и разделите их на количество измерений, то есть найдите среднее арифметическое. В примере действительное значение будет равно (0,106+0,111+0,098)/3=0,105.

Источники:

• как найти погрешность измерений

Неотъемлемой частью любого измерения является некоторая погрешность . Она представляет собой качественную характеристику точности проведенного исследования. По форме представления она может быть абсолютной и относительной.

Вам понадобится

• - калькулятор.

Инструкция

Вторые возникают от влияния причин, и случайный характер. К ним можно отнести неправильное округление при подсчете показаний и влияние . Если такие ошибки значительно меньше, чем деления шкалы этого прибора измерения, то в качестве абсолютной погрешности целесообразно взять половину деления.

Промах или грубая погрешность представляет собой результат наблюдения, который резко отличается от всех остальных.

Абсолютная погрешность приближенного числового значения – это разность между результатом, в ходе измерения и истинным значением измеряемой величины. Истинное или действительное значение отражает исследуемую физическую величину. Эта погрешность является самой простой количественной мерой ошибки. Её можно рассчитать по следующей формуле: ∆Х = Хисл - Хист. Она может принимать положительное и отрицательное значение. Для большего понимания рассмотрим . В школе 1205 учащихся, при округлении до 1200 абсолютная погрешность равняется: ∆ = 1200 - 1205 = 5.

Существуют определенные расчета погрешности величин. Во-первых, абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме их абсолютных погрешностей: ∆(Х+Y) = ∆Х+∆Y. Аналогичный подход применим для разности двух погрешностей. Можно воспользоваться формулой: ∆(Х-Y) = ∆Х+∆Y.

Источники:

• как определить абсолютную погрешность

Измерения физических величин всегда сопровождаются той или иной погрешностью . Она представляет собой отклонение результатов измерения от истинного значения измеряемой величины.

Вам понадобится

• -измерительный прибор:
• -калькулятор.

Инструкция

Погрешности могут возникнуть в результате влияния различных факторов. Среди них можно выделить несовершенство средств или методов измерения, неточности при их изготовлении, несоблюдение специальных условий при проведении исследования.

Существует несколько классификаций . По форме представления они могут быть абсолютными, относительными и приведенными. Первые представляют собой разность между исчисленным и действительным значением величины. Выражаются в единицах измеряемого явления и находятся по формуле:∆х = хисл- хист. Вторые определяются отношением абсолютных погрешностей к величине истинного значения показателя.Формула расчета имеет вид:δ = ∆х/хист. Измеряется в процентах или долях.

Приведенная погрешность измерительного прибора находится как отношение ∆х к нормирующему значению хн. В зависимости типа прибора оно принимается либо равным пределу измерений, либо отнесено к их определенному диапазону.

По условиям возникновения различают основные и дополнительные. Если измерения проводились в нормальных условиях, то возникает первый вид. Отклонения, обусловленные выходом значений за пределы нормальных, является дополнительной. Для ее оценки в документации обычно устанавливают нормы, в пределах которых может изменяться величина при нарушении условий проведения измерений.

Также погрешности физических измерений подразделяются на систематические, случайные и грубые. Первые вызываются факторами, которые действуют при многократном повторении измерений. Вторые возникают от влияния причин, и характер. Промах представляет собой результат наблюдения, который резко отличается от всех остальных.

В зависимости от характера измеряемой величины могут использоваться различные способы измерения погрешности. Первый из них это метод Корнфельда. Он основан на исчислении доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата. Погрешность в этом случае будет представлять собой половину разности этих результатов: ∆х = (хmax-xmin)/2. Еще один из способов – это расчет средней квадратической погрешности.

Измерения могут проводиться с разной степенью точности. При этом абсолютно точными не бывают даже прецизионные приборы. Абсолютная и относительная погрешности могут быть малы, но в реальности они есть практически всегда. Разница между приближенным и точным значениями некой величины называется абсолютной погрешностью . При этом отклонение может быть как в большую, так и в меньшую сторону.

Вам понадобится

• - данные измерений;
• - калькулятор.

Инструкция

Перед тем как рассчитывать абсолютную погрешность, примите за исходные данные несколько постулатов. Исключите грубые погрешности. Примите, что необходимые поправки уже вычислены и внесены в результат. Такой поправкой может быть, перенос исходной точки измерений.

Примите в качестве исходного положения то, что и учтены случайные погрешности. При этом подразумевается, что они меньше систематических, то есть абсолютной и относительной, характерных именно для этого прибора.

Случайные погрешности влияют на результат даже высокоточных измерений. Поэтому любой результат будет более или менее приближенным к абсолютному, но всегда будут расхождения. Определите этот интервал. Его можно выразить формулой (Xизм- ΔХ)≤Хизм ≤ (Хизм+ΔХ).

Определите величину, максимально приближенную к значению. В измерениях берется арифметическое, которое можно по формуле, на рисунке. Примите результат за истинную величину. Во многих случаях в качестве точного принимается показание эталонного прибора.

Зная истинную величину , вы можете найти абсолютную погрешность, необходимо учитывать при всех последующих измерениях. Найдите величину Х1 – данные конкретного измерения. Определите разность ΔХ, отняв от большего меньшее. При определении погрешности учитывается только модуль этой разности.

Обратите внимание

Как правило, на практике абсолютно точное измерение провести не удается. Поэтому за эталонную величину принимается предельная погрешность. Она представляет собой максимальное значение модуля абсолютной погрешности.

Полезный совет

В практических измерениях за величину абсолютной погрешности обычно принимается половина наименьшей цены деления. При действиях с числами за абсолютную погрешность принимается половина значения цифры, которая находится в следующим за точными цифрами разряде.

Для определения класса точности прибора более важным бывает отношение абсолютной погрешности к результату измерений или к длине шкалы.

Погрешности измерений связаны с несовершенством приборов, инструментов, методики. Точность зависит также от внимательности и состояния экспериментатора. Погрешности разделяются на абсолютные, относительные и приведенные.

Инструкция

Пусть однократное измерение величины дало результат x. Истинное значение обозначено за x0. Тогда абсолютная погрешность Δx=|x-x0|. Она оценивает абсолютную . Абсолютная погрешность складывается из трех составляющих: случайных погрешностей, систематических погрешностей и промахов. Обычно при измерении прибором берут в качестве погрешности половину цены деления. Для миллиметровой линейки это будет 0,5 мм.

Истинное значение измеряемой величины в промежутке (x-Δx ; x+Δx). Короче это записывается как x0=x±Δx. Важно измерять x и Δx в одних и тех же единицах измерения и записывать в одном и том же формате , например, целая часть и три запятой. Итак, абсолютная погрешность дает границы интервала, в котором с некоторой вероятностью находится истинное значение.

Измерения прямые и косвенные. В прямых измерениях сразу замеряется искомая величина соответствующим прибором. Например, тела линейкой, напряжение – вольтметром. При косвенных измерениях величина находится по формуле зависимости между ней и замеряемыми величинами.

Если результат представляет собой зависимость от трех непосредственно измеряемых величин, имеющих погрешности Δx1, Δx2, Δx3, то погрешность косвенного измерения ΔF=√[(Δx1 ∂F/∂x1)²+(Δx2 ∂F/∂x2)²+(Δx3 ∂F/∂x3)²]. Здесь ∂F/∂x(i) – частные производные от функции по каждой из непосредственно измеряемых величин.

Полезный совет

Промахи – это грубые неточности измерений, возникающие при неисправности приборов, невнимательности экспериментатора, нарушении методики эксперимента. Чтобы уменьшить вероятность таких промахов, при проведении измерений будьте внимательны и подробно расписывайте полученный результат.

Источники:

• Методические указания к лабораторным работам по физике
• как найти относительную ошибку

Результат любого измерения неизбежно сопровождается отклонением от истинного значения. Вычислить погрешность измерения можно несколькими способами в зависимости от ее типа, например, статистическими методами определения доверительного интервала, среднеквадратического отклонения и пр.

Абсолютные и относительные ошибки

Такие ошибки, как средняя (J), средняя квадратическая (m ), вероятная (r ), истинная (D) и предельная (D пр ), являются абсолютными ошибками. Они всегда выражены в единицах измеряемой величины, т.е. имеют одинаковую с измеряемой величиной размерность.
Часто возникают случаи, когда разные по величине объекты измеряют с одинаковыми абсолютными ошибками. Например, средняя квадратическая ошибка измерения линий длиной: l 1 = 100 м и l 2 = 1000 м, составила m = 5 см. Возникает вопрос: какая же линия измерялась точнее? Чтобы избежать неопределенности, точность измерений ряда величин оценивают в виде отношения абсолютной ошибки к значению измеряемой величины. Полученное отношение называется относительной ошибкой, которую обычно выражают дробью с числителем, равным единице.
Наименование абсолютной ошибки определяет и название соответствующей ей относительной ошибки измерения [ 1 ].

Пусть x - результат измерения некоторой величины. Тогда
- cредняя квадратическая относительная ошибка;

Средняя относительная ошибка;

Вероятная относительная ошибка;

Истинная относительная ошибка;

Предельная относительная ошибка.

Знаменатель N относительной ошибки необходимо округлять до двух значащих цифр с нулями:

m x = 0,3 м; x = 152,0 м;

m x = 0,25 м; x = 643,00 м; .

m x = 0,033 м; x = 795,000 м;

Как видно из примера, чем больше знаменатель дроби, тем точнее выполнены измерения.

Ошибки округления

При обработке результатов измерений немаловажную роль играют ошибки округления, которые по своим свойствам можно отнести к случайным величинам [ 2 ]:

1) предельная ошибка одного округления составляет 0,5 единицы удерживаемого знака;

2) большие и меньшие по абсолютной величине ошибки округления равновозможны;
3) положительные и отрицательные ошибки округления равновозможны;
4) математическое ожидание ошибок округления равно нулю.
Эти свойства позволяют отнести ошибки округления к случайным величинам, имеющим равномерное распределение. Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на интервале [a, b ], если на этом интервале плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю (рис. 2), т.е.

j (x ) . (1.32)

Функция распределения F (x )

a b x (1.33)

Рис. 2 Математическое ожидание

(1.34)

Дисперсия
(1.35)

Среднее квадратическое отклонение

(1.36)

Для ошибок округления

Как было сказано выше, результат измерения любой величины отличается от истинного значения. Это отличие, равное разности между показанием прибора и истинным значением, называется абсолютной погрешностью измерения, которая выражается в тех же единицах, что и сама измеряемая величина:

где х - абсолютная погрешность.

При проведении комплексного контроля, когда измеряются показатели разной размерности, целесообразнее пользоваться не абсолютной, а относительной погрешностью. Она определяется по следующей формуле:

Целесообразность применения х отн связана со следующими обстоятельствами. Предположим, что мы измеряем время с точностью до 0,1 с (абсолютная погрешность). При этом если речь идет о беге на 10 000 м, то точность вполне приемлема. Но измерять с такой точностью время реакции нельзя, так как величина ошибки почти равна измеряемой величине (время простой реакции равняется 0,12-0,20 с). В связи с этим нужно сопоставить величину ошибки и саму измеряемую величину и определить относительную погрешность.

Рассмотрим пример определения абсолютной и относительной погрешностей измерения. Предположим, что измерение частоты сердечных сокращений после бега с помощью высокоточного прибора дает нам величину, близкую к истинной и равную 150 уд/мин. Одновременное пальпаторное измерение дает величину, равную 162 уд/мин. Подставив эти значения в приведенные выше формулы, получим:

x =150-162=12 уд/мин - абсолютная погрешность;

х= (12: 150)Х100%=8% -относительная погрешность.

Задание №3 Индексы оценки физического развития