Что за формула a b a b. Калькулятор онлайн.Упрощение многочлена.Умножение многочленов

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо «a » и «b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Запомните!

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

• 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2 с 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Запомните!

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел , не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112 2 .

• Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
  112 = 100 + 1
• Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Воспользуемся формулой квадрата суммы:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

• (8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Предостережение!

Квадрат разности

Запомните!

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

Куб суммы

Запомните!

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

• Выучите, что в начале идёт «a 3 ».
• Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3 .
• Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1 . (a 0 = 1, b 0 = 1) . Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени «a » и увеличение степени «b ». В этом можно убедиться:
  (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Предостережение!

Куб разности

Запомните!

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+ » и «− ». Перед первым членом «a 3 » стоит «+ » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «− », затем опять «+ » и т.д.

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Запомните!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

• Первая скобка — сумма двух чисел.
• Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
  (a 2 − ab + b 2)
  Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Запомните!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

• a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
• (aс − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «

На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.

Рассмотрим формулу квадрата суммы:

Итак, мы вывели формулу квадрата суммы:

Словесно эта формула выражается так: квадрат суммы равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Данную формулу легко представить геометрически.

Рассмотрим квадрат со стороной :

Площадь квадрата.

С другой стороны, этот же квадрат можно представить иначе, разбив сторону на а и b (рис. 1).

Рис. 1. Квадрат

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

Поскольку квадраты были одинаковы, то их площади равны, значит:

Итак, мы доказали геометрически формулу квадрата суммы.

Рассмотрим примеры:

Комментарий: пример решен с применением формулы квадрата суммы.

Выведем формулу квадрата разности:

Итак, мы вывели формулу квадрата разности:

Словесно эта формула выражается так: квадрат разности равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Рассмотрим примеры:

Формулы квадрата суммы и квадрата разности могут работать как слева направо, так и справа налево. При использовании слева направо это будут формулы сокращенного умножения, они применяются при вычислении и преобразовании примеров. А при использовании справа налево - формулы разложения на множители.

Рассмотрим примеры, в которых нужно разложить заданный многочлен на множители, применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности. Для этого нужно очень внимательно посмотреть на многочлен и определить, как именно его правильно разложить.

Комментарий: для того, чтобы разложить многочлен на множители, нужно определить, что представлено в данном выражении. Итак, мы видим квадрат и квадрат единицы. Теперь нужно найти удвоенное произведение - это . Итак, все необходимые элементы есть, нужно только определить, это квадрат суммы или разности. Перед удвоенным произведением стоит знак плюс, значит, перед нами квадрат суммы.

Для того что бы упростить алгебраические многочлены, существуют формулы сокращенного умножения . Их не так уж и много и они легко запоминаются, а запомнить их нужно. Обозначения которые используются в формулах, могут принимать любой вид (число или многочлен).

Первая формула сокращенного умножения называется разность квадратов . Она заключается в том что из квадрата одного числа отнимается квадрат второго числа равен величине разности данных чисел, а также их произведению.

а 2 - b 2 = (а - b)(a + b)

Разберем для наглядности:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9а 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Вторая формула о сумме квадратов . Звучит она как, сумма двух величин в квадрате равняется квадрату первой величины к ней прибавляется двойное произведение первой величины умноженное на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.

(а + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Благодаря данной формуле, становится намного проще вычислять квадрат от большого числа, без использования вычислительной техники.

Так к примеру: квадрат от 112 будет равен
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вписываем полученное в скобки возведенные в квадрат
112 2 = (100+12) 2
3) Применяя формулу, получаем:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третья формула это квадрат разности . Которая гласит о том, что две вычитаемые друг друга величины в квадрате равняются, тому что, от первой величины в квадрате отнимаем двойное произведение первой величины умноженное на вторую, прибавляя к ним квадрат второй величины.

(а +b) 2 = а 2 - 2аb + b 2

где (а - b) 2 равняется (b - а) 2 . В доказательство чему, (а-b) 2 = а 2 -2аb+b 2 = b 2 -2аb + а 2 = (b-а) 2

Четвертая формула сокращенного умножения называется куб суммы . Которая звучит как: две слагаемые величины в кубе равны кубу 1 величины прибавляется тройное произведение 1 величины в квадрате умноженное на 2-ую величину, к ним прибавляется тройное произведение 1 величины умноженной на квадрат 2 величины, плюс вторая величина в кубе.

(а+b) 3 = а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 + b 3

Пятая, как вы уже поняли называется куб разности . Которая находит разности между величинами, как от первого обозначения в кубе отнимаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженной на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.

(а-b) 3 = а 3 - 3а 2 b + 3аb 2 - b 3

Шестая называется - сумма кубов . Сумма кубов равняется произведению двух слагаемых величин, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.

а 3 + b 3 = (а+b)(а 2 -аb+b 2)

По другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведение в двух скобках.

Седьмая и заключительная, называется разность кубов (ее легко перепутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разность кубов равняется произведению от разности двух величин, умноженных на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.

а 3 - b 3 = (а-b)(а 2 +аb+b 2)

И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, единственно важно не путаться в знаках. Они так же рассчитаны на то, что их можно использовать в обратном порядке и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте внимательны и все у вас получится.

Если у вас появились вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Будем рады ответить вам!

Если Вы находитесь в декретном отпуске, но хотите зарабатывать деньги. Просто перейдите по ссылке Интернет бизнес с Орифлейм . Там все очень подробно написано и показано. Будет интересно!

Умножение многочлена на многочлен

! Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить.

Будьте внимательны! У каждого слагаемого есть свой знак.

Формулы сокращённого умножения многочленов - это, как правило, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов.

Определения и Формулы сокращенного умножения. Таблица

Три формулы сокращенного умножения для квадратов

1. Формула квадрата суммы.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Чтобы лучше понять формулу, сначала упростим выражение (развернем формулу квадрата суммы)

А теперь разложим на множители (свернем формулу)

Последовательность действий при разложении на множители:

1. определи, какие одночлены возводились в квадрат (5 и 3m );
2. проверь, стоит ли в середине формулы их удвоенное произведение (2 5 3m = 30m );
3. запиши ответ (5 + 3m) 2 .

2. Формула квадрата разности

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Сначала упростим выражение (развернем формулу):

А потом наоборот, разложим на множители (свернем формулу):

3. Формула разности квадратов

Произведение суммы двух выражений на их разность равно разности квадратов этих выражений.

Свернем формулу (выполним умножение)

А теперь развернем формулу (разложим на множители)

Четыре формулы сокращенного умножения для кубов

4. Формула куба суммы двух чисел

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Последовательность действий при «сворачивании» формулы:

1. найти одночлены, которые возводились в куб (здесь 4х и 1 );
2. проверить средние слагаемые на соответствие формуле;
3. записать ответ.

5. Формула куба разности двух чисел

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

6. Формула суммы кубов

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

И обратно:

7. Формула разности кубов

Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Применение формул сокращенного умножения. Таблица

Пример использования формул на практике (устный счет).

Задача: Найти площадь квадрата со стороной а = 71 см.

Решение: S = a 2 . Используя формулу квадрата суммы, имеем

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 см 2

Ответ: 5041 см 2

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.