Дифференциальные уравнения первого порядка кратко. Линейные и однородные дифференциальные уравнения первого порядка

1. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

Если это уравнение можно разрешить относительно та его можно записать в виде

В этом случае мы говорим, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной. Для такого уравнения справедлива следующая теорема, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Теорема. Если в уравнении

функция и ее частная производная по у непрерывны в некоторой области D на плоскости содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения

удовлетворяющее условию при

Эта теорема будет доказана в § 27 гл. XVI.

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция график которой проходит через точку

Из только что высказанной теоремы вытекает, что уравнение имеет бесконечное число различных решений (например, решение, график которого проходит через точку другое решение, график которого проходит через точку и т. д., если только эти точки лежат в области

Условие, что при функция у должна равняться заданному числу называется начальным условием. Оно часто записывается в виде

Определение 1. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет следующим условиям:

а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянной С;

б) каково бы ни было начальное условие при можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию. При этом предполагается, что значения принадлежат к той области изменения переменных х и у, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения.

2. В процессе разыскания общего решения дифференциального уравнения мы нередко приходим к соотношению вида

не разрешенному относительно у. Разрешив это соотношение относительно у, получаем общее решение. Однако выразить у из соотношения (2) в элементарных функциях не всегда оказывается возможным; в таких случаях общее решение оставляется в неявном виде. Равенство вида неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 2. Частным решением называется любая функция которая получается из общего решения , если в последнем произвольной постоянной С придать определенное значение Соотношение называется в этом случае частным интегралом уравнения.

Пример 1. Для уравнения первого порядка

общим решением будет семейство функции это можно проверить простой подстановкой в уравнение.

Найдем частное решение, удовлетворяющее следующему начальному условию: при Подставляя эти значения в формулу получим или Следовательно, искомым частным решением будет функция

С точки зрения геометрической общий интеграл представляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С (или, как говорят, от одного параметра С).

Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения. Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через некоторую заданную точку плоскости.

Так, в последнем примере общий интеграл геометрически изображается семейством гипербол а частный интеграл, определенный указанным начальным условием, изображается одной из этих гипербол, проходящей через точку На рис. 251 изображены кривые семейства, соответствующие некоторым значениям параметра: и т. д.

Чтобы сделать рассуждения более наглядными, мы будем в дальнейшем называть решением уравнения не только функцию удовлетворяющую уравнению, но и соответствующую интегральную кривую. В связи с этим мы будем говорить, например, о решении, проходящем через точку .

Замечание. Уравнение не имеет решения, проходящего через точку, лежащую на оси рис. 251), так как правая часть уравнения при не определена и, следовательно, не является непрерывной.

Решить или, как часто говорят, проинтегрировать дифференциальное уравнение - значит:

а) найти его общее решение или общий интеграл (если начальные условия не заданы) или

б) найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковые имеются).

3. Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной:

и пусть есть общее решение данного уравнения. Это общее решение определяет семейство интегральных кривых на плоскости

Уравнение (Г) для каждой точки М с координатами х и у определяет значение производной т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, дифференциальное уравнение (Г) дает совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений на плоскости

Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.

Для дифференциального уравнения (1) геометрическое место точек, в которых выполняется соотношение называется изоклиной данного дифференциального уравнения.

При различных значениях k получаем различные изоклины. Уравнение изоклины, соответствующей значению k, будет, очевидно, Построив семейство изоклин, можно приближенно построить семейство интегральных кривых. Говорят, что, зная изоклины, можно качественно определить расположение интегральных кривых на плоскости.

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид

\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),

где p(x) и q(x) - заданные функции от x , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).

Если q(x)\equiv0 , то уравнение (1) называется линейным однородным . Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

Y=C\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right)\!,

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной , который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде

Y=C(x)\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right) , где C(x) - новая неизвестная функция от x .

Пример 1. Решить уравнение y"+2xy=2xe^{-x^2} .

Решение. Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение y"+2xy=0 , соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид y=Ce^{-x^2} .

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде y=C(x)e^{-x^2} , где C(x) - неизвестная функция от x . Подставляя, получаем C"(x)=2x , откуда C(x)=x^2+C . Итак, общее решение неоднородного уравнения будет y=(x^2+C)e^{-x^2} , где C - постоянная интегрирования.

Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно x как функция от y . Нормальный вид такого уравнения

\frac{dx}{dy}+r(y)x=\varphi(y).

Пример 2. Решить уравнение \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\cos{y}+\sin2y} .

Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать x как функцию от y :

\frac{dx}{dy}-x\cos{y}=\sin{2y}.

Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение

\frac{dx}{dy}-x\cos{y}=0,

которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид x=Ce^{\sin{y}},~C=\text{const} .

Общее решение уравнения ищем в виде x=C(y)e^{\sin{y}} , где C(y) - неизвестная функция от y . Подставляя, получаем

C"(y)e^{\sin{y}}=\sin2y или C"(y)=e^{-\sin{y}}\sin2y.

Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь

\begin{aligned}C(y)&=\int{e^{-\sin{y}}\sin2y}\,dy=2\int{e^{-\sin{y}}\cos{y}\sin{y}}\,dy=2\int\sin{y}\,d(-e^{-\sin{y}})=\\ &=-2\sin{y}\,e^{-\sin{y}}+2\int{e^{-\sin{y}}\cos{y}}\,dy=C-2(\sin{y}+1)e^{-\sin{y}},\end{aligned}

Итак,

C(y)=-2e^{-\sin{y}}(1+\sin{y})+C.

Подставляя это уравнение в x=C(y)e^{\sin{y}} , получаем общее решение исходного уравнения, а значит, и данного уравнения:

X=Ce^{\sin{y}}-2(1+\sin{y})

Исходное уравнение может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем

Y=u(x)v(x),

где u(x) и v(x) - неизвестные функции от x , одна из которых, например v(x) , может быть выбрана произвольно.

Подставляя y=u(x)v(x) в , после преобразования получаем

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Определяя v(x) из условия v"+pv=0 , найдем затем из vu"+(pv+v")u=q(x) функцию u(x) , а следовательно, и решение y=uv уравнения \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) . В качестве v(x) можно взять любое частое решение уравнения v"+pv=0,~v\not\equiv0 .

Пример 3. Решить задачу Коши: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_{x=2}=4 .

Решение. Ищем общее решение уравнения в виде y=u(x)v(x) ; имеем y"=u"v+uv" . Подставляя выражение для y и y" в исходное уравнение, будем иметь

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) или x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Функцию v=v(x) находим из условия x(x-1)v"+v=0 . Беря любое частное решение последнего уравнения, например v=\frac{x}{x-1} , и подставляя его, получаем уравнение u"=2x-1 , из которого находим функцию u(x)=x^2-x+C . Следовательно, общее решение уравнения x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) будет

Y=uv=(x^2-x+C)\frac{x}{x-1}, или y=\frac{Cx}{x-1}+x^2.

Используя начальное условие y|_{x=2}=4 , получаем для нахождения C уравнение 4=\frac{2C}{2-1}+2^2 , откуда C=0 ; так что решением поставленной задачи Коши будет функция y=x^2 .

Пример 4. Известно, что между силой тока i и электродвижущей силой E в цепи, имеющей сопротивление R и самоиндукцию L , существует зависимость E=Ri+L\frac{di}{dt} , где R и L - постоянные. Если считать E функцией времени t , то получим линейное неоднородное уравнение для силы тока i :

\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E(t)}{L}.

Найти силу тока i(t) для случая, когда E=E_0=\text{const} и i(0)=I_0 .

Решение. Имеем \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E_0}{L},~i(0)=I_0 . Общее решение этого уравнения имеем вид i(t)=\frac{E_0}{R}+Ce^{-(R/L)t} . Используя начальное условие (13), получаем из C=I_0-\frac{E_0}{R} , так что искомое решение будет

I(t)=\frac{E_0}{R}+\left(I_0-\frac{E_0}{R}\right)\!e^{-(R/L)t}.

Отсюда видно, что при t\to+\infty сила тока i(t) стремится к постоянному значению \frac{E_0}{R} .

Пример 5. Дано семейство C_\alpha интегральных кривых линейного неоднородного уравнения y"+p(x)y=q(x) .

Показать, что касательные в соответственных точках к кривым C_\alpha , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).

Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой C_\alpha в точке M(x,y) .Уравнение касательной в точке M(x,y) имеет вид

\eta-q(x)(\xi-x)=y , где \xi,\eta - текущие координаты точки касательной.

По определению, в соответственных точках x является постоянным, а y переменным. Беря любые две касательные к линиям C_\alpha в соответственных точках, для координат точки S их пересечения, получаем

\xi=x+\frac{1}{p(x)}, \quad \eta=x+\frac{q(x)}{p(x)}.

Отсюда видно, что все касательные к кривым C_\alpha в соответственных точках ( x фиксировано) пересекаются в одной и той же точке

S\!\left(x+\frac{1}{p(x)};\,x+\frac{q(x)}{p(x)}\right).

Исключая в системе аргумент x , получаем уравнение геометрического места точек S \colon f(\xi,\eta)=0 .

Пример 6. Найти решение уравнения y"-y=\cos{x}-\sin{x} , удовлетворяющее условию: y ограничено при y\to+\infty .

Решение. Общее решение данного уравнения y=Ce^x+\sin{x} . Любое решение уравнения, получаемое из общего решения при C\ne0 , будет неограниченно, так как при x\to+\infty функция \sin{x} ограничена, а e^x\to+\infty . Отсюда следует, что данное уравнение имеет единственное решение y=\sin{x} , ограниченное при x\to+\infty , которое получается из общего решения при C=0 .

Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид

\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n , где n\ne0;1 (при n=0 и n=1 это уравнение является линейным).

С помощью замены переменной z=\frac{1}{y^{n-1}} уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

Пример 7. Решить уравнение Бернулли y"-xy=-xy^3 .

Решение. Делим обе части уравнения на y^3 :

\frac{y"}{y^3}-\frac{x}{y^2}=-x

Делаем замену переменной \frac{1}{y^2}=z\Rightarrow-\frac{2y"}{y^3}=z" , откуда \frac{y"}{y^3}=-\frac{z"}{2} . После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение

-\frac{z"}{2}-xz=-x или z"+2xz=2x , общее решение которого z=1+Ce^{-x^2}.

Отсюда получаем общий интеграл данного уравнения

\frac{1}{y^2}=1+Ce^{-x^2} или y^2(1+Ce^{-x^2})=1.

Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки y(x)=u(x)v(x) .

Пример 8. Решить уравнение Бернулли xy"+y=y^2\ln{x}. .

Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Общее решение соответствующего однородного уравнения xy"+y=0 имеет вид y=\frac{C}{x} . Общее решение уравнения ищем в виде y=\frac{C(x)}{x} , где C(x) - новая неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение, будем иметь

C"(x)=C^2(x)\frac{\ln{x}}{x^2}.

Для нахождения функции C(x) получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем

\frac{1}{C(x)}=\frac{\ln{x}}{x}+\frac{1}{x}+C~\Rightarrow~C(x)=\frac{x}{1+Cx+\ln{x}}.

Итак, общее решение исходного уравнения y=\frac{1}{1+Cx+\ln{x}} .

Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравнениям или к уравнениям Бернулли.

Пример 9. Решить уравнение y"+\sin{y}+x\cos{y}+x=0 .

Решение. Запишем данное уравнение в виде y"+2\sin\frac{y}{2}\cos\frac{y}{2}+2x\cos^2\frac{y}{2}=0. .

Деля обе части уравнения на 2\cos^2\frac{y}{2} , получаем \frac{y"}{2\cos^2\dfrac{y}{2}}+\operatorname{tg}\frac{y}{2}+x=0 .

Замена \operatorname{tg}\frac{y}{2}=z\Rightarrow\frac{dz}{dx}=\frac{y"}{\cos^2\dfrac{y}{2}} приводит это уравнение к линейному \frac{dz}{dx}+z=-x , общее решение которого z=1-x+Ce^{-x} .

Заменяя z его выражением через y , получаем общий интеграл данного уравнения \operatorname{tg}\frac{y}{2}=1-x+Ce^{-x} .

В некоторых уравнениях искомая функция y(x) может находиться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному.

Пример 10. Решить уравнение x\int\limits_{x}^{0}y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt,~x>0 .

Решение. Дифференцируя обе части этого уравнения по x , получаем

\int\limits_{0}^{x}y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt+x(x+1)y(x) или Источник информации

Первого порядка, имеющее стандартний вид $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, где $P\left(x\right)$ -- непрерывная функция , называется линейным однородным. Название "линейное" объясняется тем, что неизвестная функция $y$ и её первая производная $y"$ входят в состав уравнения линейно, то есть в первой степени. Название "однородное" объясняется тем, что в правой части уравнения находится нуль.

Такое дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных. Представим его в стандартном виде метода: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, где $f_{1} \left(x\right)=-P\left(x\right)$ и $f_{2} \left(y\right)=y$.

Вычислим интеграл $I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.

Вычислим интеграл $I_{2} =\int \frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} =\int \frac{dy}{y} =\ln \left|y\right|$.

Запишем общее решение в виде $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_{1} \right|$, где $\ln \left|C_{1} \right|$ -- произвольная постоянная, взятая в удобном для дальнейших преобразований виде.

Выполним преобразования:

\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_{1} \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac{\left|y\right|}{\left|C_{1} \right|} =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]

Используя определение логарифма, получим: $\left|y\right|=\left|C_{1} \right|\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $. Это равенство, в свою очередь, эквивалентно равенству $y=\pm C_{1} \cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $.

Заменив произвольную постоянную $C=\pm C_{1} $, получим общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: $y=C\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $.

Решив уравнение $f_{2} \left(y\right)=y=0$, найдем особые решения. Обычной проверкой убеждаемся, что функция $y=0$ является особым решением данного дифференциального уравнения.

Однако это же решение можно получить из общего решения $y=C\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $, положив в нём $C=0$.

Таким образом, окончательный результат: $y=C\cdot e^{-\int P\left(x\right)\cdot dx } $.

Общий метод решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:

Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
Вычисляем интеграл $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
Записываем общее решение в виде $y=C\cdot e^{-I} $ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.

Задача 1

Найти общее решение дифференциального уравнения $y"+3\cdot x^{2} \cdot y=0$.

Имеем линейное однородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $P\left(x\right)=3\cdot x^{2} $.

Вычисляем интеграл $I=\int 3\cdot x^{2} \cdot dx =x^{3} $.

Общее решение имеет вид: $y=C\cdot e^{-x^{3} } $.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно представить в стандартном виде $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ -- известные непрерывные функции, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Название "неоднородное" объясняется тем, что правая часть дифференциального уравнения отлична от нуля.

Решение одного сложного линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть сведено к решению двух более простых дифференциальных уравнений. Для этого искомую функцию $y$ следует заменить произведением двух вспомогательных функций $u$ и $v$, то есть положить $y=u\cdot v$.

Выполняем дифференцирование принятой замены: $\frac{dy}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx} $. Подставляем полученное выражение в данное дифференциальное уравнение: $\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot u\cdot v=Q\left(x\right)$ или $\frac{du}{dx} \cdot v+u\cdot \left[\frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot v\right]=Q\left(x\right)$.

Отметим, что если принято $y=u\cdot v$, то в составе произведения $u\cdot v$ одну из вспомогательных функций можно выбирать произвольно. Выберем вспомогательную функцию $v$ так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль. Для этого достаточно решить дифференциальное уравнение $\frac{dv}{dx} +P\left(x\right)\cdot v=0$ относительно функции $v$ и выбрать для неё простейшее частное решение $v=v\left(x\right)$, отличное от нуля. Это дифференциальное уравнение является линейным однородным и решается оно вышерассмотренным методом.

Полученное решение $v=v\left(x\right)$ подставляем в данное дифференциальное уравнение с учетом того, что теперь выражение в квадратных скобках равно нулю, и получаем еще одно дифференциальное уравнение, но теперь относительно вспомогательной функции $u$: $\frac{du}{dx} \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Это дифференциальное уравнение можно представить в виде $\frac{du}{dx} =\frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} $, после чего становится очевидно, что оно допускает непосредственное интегрирование. Для этого дифференциального уравнения необходимо найти общее решение в виде $u=u\left(x,\; C\right)$.

Теперь можно найти общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.

Общий метод решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:

Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
Вычисляем интеграл $I_{1} =\int P\left(x\right)\cdot dx $, записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $, выполняем упрощающие преобразования и выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант.
Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx $, посля чего записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_{2} +C$.
Записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.

Задача 2

Найти общее решение дифференциального уравнения $y"-\frac{y}{x} =3\cdot x$.

Имеем линейное неоднородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $P\left(x\right)=-\frac{1}{x} $ и $Q\left(x\right)=3\cdot x$.

Вычисляем интеграл $I_{1} =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac{1}{x} \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

Записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $ и выполняем упрощающие преобразования: $v\left(x\right)=e^{\ln \left|x\right|} $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Вибираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$.

Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx =\int \frac{3\cdot x}{x} \cdot dx=3\cdot x $.

Записываем выражение $u\left(x,C\right)=I_{2} +C=3\cdot x+C$.

Окончательно записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $y=\left(3\cdot x+C\right)\cdot x$.

Уравнение первого порядка вида a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) называется линейным дифференциальным уравнением. Если b(x) ≡ 0 то уравнение называется однородным , в противном случае - неоднородным . Для линейного дифференциального уравнения теорема существования и единственности имеет более конкретный вид.

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений вида y"+y=b(x) .

Для получения решения исходное выражение необходимо привести к виду: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) . Например, для y"-exp(x)=2*y это будет y"-2*y=exp(x) .

Теорема . Пусть a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) непрерывны на отрезке [α,β], a 1 ≠0 для ∀x∈[α,β]. Тогда для любой точки (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β], существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию y(x 0) = y 0 и определенное на всем интервале [α,β].
Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
Разделяя переменные, получаем , или, интегрируя обе части, Последнее соотношение, с учетом обозначения exp(x) = e x , записывается в форме

Попытаемся теперь найти решение уравнения в указанном виде, в котором вместо константы C подставлена функция C(x) то есть в виде

Подставив это решение в исходное, после необходимых преобразований получаем Интегрируя последнее, имеем

где C 1 - некоторая новая константа. Подставляя полученное выражение для C(x), окончательно получаем решение исходного линейного уравнения
.

Пример . Решить уравнение y" + 2y = 4x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y" + 2y = 0 . Решая его, получаем y = Ce -2 x . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде y = C(x)e -2 x . Подставляя y и y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x в исходное уравнение, имеем C"(x) = 4xe 2 x , откуда C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 и y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x - общее решение исходного уравнения. В этом решении y 1 (x) = 2x-1 - движение объекта под действием силы b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x -собственное движение объекта.

Пример №2 . Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x или u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Решение состоит из двух этапов:
1. u(3v tg(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Приравниваем u=0, находим решение для 3v tg(3x)+v" = 0
Представим в виде: v" = -3v tg(3x)

Интегирируя, получаем:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Зная v, Находим u из условия: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Интегирируя, получаем:
Из условия y=u v, получаем:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) или y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)