Как решать систему линейных уравнений методом подстановки. Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения

1 . Ф.И.О. учителя: ____Ткачук Наталья Петровна _________________________________________________________________________________________________

2. Класс: _8 Дата: .11.03________Предмет_-математика, №71 урока по расписанию:

3. Тема урока Решение систем способом подстановки 4 . Место и роль урока в изучаемой теме :. Урок закрепления знаний . Цель урока :

Образовательная: развить знания решения систем уравнений способом подстановки. Знать/понимать: если графики имеют общие точки, то система имеет решения; если у графиков нет общих точек, то система решений не имеет; алгоритм решения систем уравнений. Уметь решать системы способом подстановки Содействовать развитию умений применять полученные знания в нестандартных (типовых) условиях Развивающая: Способствовать развитию умений учащихся обобщать полученные знания, проводить анализ, синтез, сравнения, делать необходимые выводы. Содействовать развитию умений применять полученные знания в нестандартных и типовых условиях. Воспитательная: Способствовать развитию творческого отношения к учебной деятельности

Характеристика этапов урока

Деятельность

учеников

Самоопределение.

Активизировать познавательную активность

Решить систему

словесный

Фронтальная

Приветствие учащихся. проведение. Создание ситуации готовности к уроку, успеха на предстоящем уроке.

Проверяют готовность к уроку.

2.Актуализация знаний.

Выявить качество и уровень овладения знаниями и умениями, полученными на предыдущих уроках по теме

Выяснить, является ли пара чисел решением системы. х=5 у=9

Какие операции можно производить с уравнениями?

(умножать обе части уравнения на одно и тоже число, делить на число не равное нулю ….)

Работа в группе

Фронтальная. Гупповая-разбор алгоритмов решения задач;

При необходимости задает наводящие вопросы.

Отвечают на поставленные вопросы.

3.Постановка учебной задачи, целей урока.

Формирование

и развитие умения

определять и формулировать

проблему, цель и тему

для изучения линий

Как решается система уравнений способом сложения, способом подстановки.

Какой способ целесообразно применить при решении. данной системы?

Работа в группе.

Индивидуальная.

Фронтальная.

Какие действия мы проделали, чтобы узнать стоимость покупки?

Какую тему мы будем изучать?

Высказываются.

4. Этап актуализации знаний по теме

Содействовать развитию умений различать и сопоставлять линии. Обеспечить условия для развития умений грамотно, чётко и точно выражать свои мысли.

№ 621

Выяснить взаимное расположение прямых

2х+0.5у= 1,2 и х- 4у=0

Можно ли определить пересекаются прямые или нет по их коэффициентам?

2. составь уравнения прямых которые параллельны между собой.

Работа с учнбником

Работа в парах с самопроверкой

Фронтальная, индивидуальная. практикум по решению задач

При необходимости задает наводящие вопросы. Проводит параллель с ранее изученным материалом.

Обеспечивает мотивацию выполнения предложенных задач.

Подводит обучающихся к выводу о существованию формул.

Решают задачи, отвечают на вопросы учителя при необходимости Выполняют упражнение в тетради.

По очереди комментируют, анализируют, определяют причины и способы решения.

5.Работа по самостоятельному

применению полученных знаний. Актуализация знаний и умений в решении задач.

Формирование и развитие умений чтения чисел.Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи, контроль полученного результата, коррекция полученного результата, само регуляция

1 вар –

2 вар

Самостоятельная работа. Проверка соседа.

«мозговой штурм»,

Контролирует выполнение работы.

Осуществляет: индивидуальный контроль; выборочный контроль.

Побуждает к высказыванию своего мнения.

Решают задачи. Осуществляют: самооценку;взаимопроверку; выставляют предварительную оценку.

6.Оценка урока, самооценка.

Формирование и развитие умения анализировать и осмысливать свои достижения.

Умение определять уровень овладения учебным материалом.

Оценка промежуточных результатов и само регуляция для повышения мотивации учебной деятельности

Оценка на каждом этапе

1. умеешь ли ты строить графики линейных уравнений?

2.Умеешь ли ты определять, пересекаются они или нет.

3.знаешь ли ты алгоритм решения систем уравнений?

4. какие способы ты знаешь решения систем уравнений?

Работа в группе.

Групповая и индивидуальная..

Побуждает к высказыванию своего мнения.

Осуществляют: самооценку и оценку товарища.

7.Итоги урока. Домашнее задание.

Умение соотносить цели и результаты собственной дея-тельности. Под-держание здоро-вого духа сопер-ничества для под-держания мотива-ции учебной дея-тельности; участие в коллективном обсуждении проблем.

п п. 4.4 №623

Работа в группе.

Фронтальная-Выделение и формулиров-ание поз-навательной цели рефлексия способов и условий действия

Анализ и синтез объектов

Побуждает к высказыванию своего мнения.

Дает комментарий к домашнему заданию; задание на поиск в тексте особенностей...

Дети участвуют в дискуссии, анализируют, проговаривают. Осмысливают и фиксируют свои достижения.

Сегодня на уроке я узнал…

Сегодня на уроке я научился…

2. Метод алгебраического сложения.
3. Метод введения нового переменного (метод замены переменной).

Определение: Системой уравнений называются несколько уравнений от одной или нескольких переменных, которые должны выполняться одновременно, т.е. при одинаковых значениях переменных для всех уравнений. Уравнения в системе объединяются знаком системы – фигурной скобкой.
Пример 1:

— система двух уравнений с двумя переменными x и y .
Решением системы являются корни . При подстановке этих значений уравнения превращаются в верные тождества:

Решение систем линейных уравнений.

Самым распространенным методом решения системы является метод подстановки.

Метод подстановки.

Метод подстановки для решения систем уравнений заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить какую-либо переменную через другие, и подставить это выражение в остальные уравнения системы вместо выраженной переменной.
Пример 2:
Решить систему уравнений:

Решение:
Дана система уравнений и ее требуется решить методом подстановки.
Выразим переменную y из второго уравнения системы.
Замечание: «Выразить переменную» означает преобразовать равенство так, чтобы эта переменная осталась слева от знака равенства с коэффициентом 1, а все остальные слагаемые перешли в правую часть равенства.
Второе уравнение системы:

Оставим слева только y :

И подставим (вот оттуда то и идет название метода) в первое уравнение вместо у выражение, которому оно равно, т.е. .
Первое уравнение:

Подставим :

Решим это банальное квадратное уравнение. Для тех, кто забыл, как это делается, есть статья Решение квадратных уравнений. .

Итак, значения переменной x найдены.
Подставим эти значения в выражение для переменной y . Здесь получилось два значения x , т.е. для каждого из них следует находить значение y .
1) Пусть
Подставляем в выражение .

2) Пусть
Подставляем в выражение .

Все можно составлять ответ:
Замечание: Ответ в этом случае следует записывать попарно, чтоб не перепутать, какое значение переменной y соответствует какому значению переменной x.
Ответ:
Замечание: В примере 1 как решение системы указана только одна пара, т.е. эта пара является решением системы, но не полным. Потому, как решить уравнение или систему значит указать решение и показать, что других решений нет. А тут еще одна пара.

Оформим решение этой системы по-школьному:

Замечание: Знак «» значит «равносильно», т.е. следующая система или выражение равносильно предыдущей.

Обычно уравнения системы записывают в столбик одно под другим и объединяют фигурной скобкой

Система уравнений такого вида, где a, b, c - числа, а x, y - переменные, называется системой линейных уравнений .

При решении системы уравнений используют свойства, справедливые для решения уравнений .

Решение системы линейных уравнений способом подстановки

Рассмотрим пример

1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом уравнении, получим систему:

2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7 :

3) Решаем полученное второе уравнение:

4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4 . Ответ: (1; -4) , записывается в скобках, на первой позиции значение x , на второй - y .

Решение системы линейных уравнений способом сложения

Решим систему уравнений из предыдущего примера методом сложения.

1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными . Умножим первое уравнение системы на "3".

2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое) переписываем без изменений.

3) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Решение системы линейных уравнений графическим способом

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Графическое решение системы

Метод введения новых переменных

Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.

Рассмотрим решение системы

Введем замену , тогда

Переходим к первоначальным переменным

Особые случаи

Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Метод подстановки позволяет легко решить системы линейных уравнений любой сложности. Суть метода заключается в том, что, используя первое выражение системы, мы выражаем "у", а далее производим подстановку полученного выражения во второе уравнение системы вместо "у". Поскольку уравнение уже содержит не два неизвестных, а только одно, то мы легко находим значение этой переменной, а затем с ее помощью определяем значение второй.

Допустим, дана система линейных уравнений следующего вида:

\[\left\{\begin{matrix} 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end{matrix}\right.\]

Выразим \

\[\left\{\begin{matrix} 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end{matrix}\right.\]

Выполним подстановку полученного выражения во 2 уравнение:

\[\left\{\begin{matrix} y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end{matrix}\right.\]

Найдем значение \

Упростим и решим уравнение с помощью открытия скобок и учета правил переноса членов:

Теперь нам известно значение \ Используем это для нахождения значения \

Ответ: \[(4;2).\]

Где можно решить систему уравнений онлайн методом подстановки?

Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте . Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте.