Нахождение целого по его части. Видеоурок «Нахождение части от целого и целого по его части
§ 1 Правила нахождения части от целого и целого по его части
В этом занятии сформулируем правила отыскания части от целого и целого по его части, а также рассмотрим решение задач с использованием этих правил.
Рассмотрим две задачи:
Сколько километров прошли туристы в первый день, если весь туристический маршрут 20 км.?
Найдите длину всего пути туристов.
Сравним эти задачи - в обеих за целое принят весь путь. В первой задаче целое известно - 20 км, а во второй - неизвестно. В первой задаче необходимо найти часть от целого, а во второй - целое по его части. Величина, известная в первой задаче 20 км, неизвестна во второй задаче, и наоборот, известное во второй задаче - 8 км, в первой необходимо найти. Такие задачи называются взаимно обратными, так как в них известные и искомые величины меняются местами.
Рассмотрим первую задачу:
Знаменатель 5 показывает, на сколько частей разделили целое, т.е. если целое 20 разделить на 5, узнаем, сколько километров составляет одна часть, 20: 5 = 4 км. Числитель 2 показывает, что туристы прошли 2 части пути, значит 4 надо умножить на 2, получится 8 км. В первый день туристы прошли 8 км.
Получилось выражение 20: 5 ∙ 2 = 8.
Перейдем ко второй задаче.
Следовательно, одна часть будет равна частному 8 и 2, получится 4, знаменатель 5, значит, всего частей 5.
4 умножить на 5, получится 20. Ответ 20 км длина всего пути.
Запишем выражение: 8: 2 ∙ 5 = 20
Используя смысл умножения и деления числа на дробь, правила отыскания части от целого и целого по его части можно сформулировать так:
Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, умножить на дробь, соответствующую этой части;
чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на соответствующую части дробь.
Соответственно решение задач можно записать теперь по другому:
для первой задачи 20 ∙ 2/5 = 8 (км),
для второй задачи 8: 2/5 = 20 (км).
Чтобы не было затруднений, решение подобных задач записываем так:
Целое: весь путь, известно - 20 км.
Ответ: 8 км.
Целое: весь путь - неизвестно.
Ответ: 20 км.
§ 2 Алгоритм решения задач на нахождение целого по его части и части целого
Составим алгоритм решения подобных задач.
Сначала проанализируем условие и вопрос задачи: выясним, что является целым, известно оно или нет, далее выясним, как представлена часть целого и что нужно найти.
Если необходимо найти часть от целого, то целое умножим на дробь, соответствующую этой части, если надо найти целое по его части, то число, соответствующее части разделим на дробь, соответствующую этой части. В результате получим выражение. Далее найдем значение выражения и запишем ответ, прочитав перед этим еще раз вопрос задачи.
Итак, прежде чем решать подобные задачи, необходимо ответить на следующие вопросы:
Какая величина прията за целое?
Известна ли эта величина?
Что требуется найти: часть от целого или целое по его части?
Подведем итоги: в этом уроке Вы познакомились с правилами отыскания части от целого и целого по его части, а также научились решать задачи по этим правилам.
Список использованной литературы:
- Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина, 2009.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013.
- Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./ под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос.акад.наук, Рос.акад.образования, М.: Просвещение, 2010.
- Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013.
- Математика. 6 кл.: учебник /Г.К. Муравин, О.В. Муравина. – М.: Дрофа, 2014.
Правило нахождения числа по его дроби :
Чтобы найти число по данному значению его дроби, нужно это значение разделить на дробь.
Рассмотрим, как найти число по его дроби, на конкретных примерах.
Примеры .
1) Найти число, 3/4 которого равны 12.
Чтобы найти число по его дроби, это число делим на эту дробь. Чтобы, надо данное число умножить на число, обратное к дроби (то есть на перевернутую дробь). Чтобы , надо числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. 12 и 3 на 3. Так как в знаменателе получили единицу, ответ — целое число.
2) Найти число, если 9/10 его равняются 3/5.
Чтобы найти число по данному значению его дроби, это значение делим на эту дробь. Чтобы разделить дробь на дробь, первую дробь умножаем на обратную ко второй (перевернутую). Чтобы умножить дробь на дробь, числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель. Сокращаем 10 и 5 на 5, 3 и 9 — на 3. В результате получили правильную несократимую дробь, значит это — окончательный результат.
3) Найти число, 9/7 которого равны
Чтобы найти число по значению его дроби, это значение делим на эту дробь. Смешанное число и умножаем его на число, обратное ко второму (перевернутую дробь). Сокращаем 99 и 9 на 9, 7 и 14 — на 7. Поскольку получили неправильную дробь, необходимо выделить из нее целую часть.
Тема: Нахождение части от целого и целого по его части
Цель:
Систематизировать, расширить, обобщить и закрепить полученные знания по теме «Нахождение части от целого и целого по его части. Информатика среди нас»
Задачи:
Активизировать знания учащихся о понятиях дробь, решение задач на дроби.
Научить учащихся решать задачи по теме, уметь отличать способы решения задач.
Применение полученных теоретических знаний в решении практических задач.
Расширить кругозор учащихся в области информатики.
Этапы проведения урока.
Целеполагание - 2 мин.
Актуализация опорных знаний – 8 мин.
Закрепление и обобщение материала. – 23 мин.
Подведение итогов урока и постановка домашнего задания. – 5 мин.
Ожидаемые результаты: учащиеся должны научиться применять нужные способы решения к той или иной задаче, должны уметь решать задачи, уметь выполнять вычисления дробей.
Ход урока:
Организационный момент. – 2 мин.
Приветствую учащихся.
Целеполагание – 2 мин.
Отгадайте ребус.
Какое слово здесь зашифровано? Верно, интернет.
Какую тему мы с вами сейчас изучаем? (верно, «Нахождение части от целого и целого по его части»)
Как интернет будет связан с данной темой? (будем решать задачи по данной теме на знание интернета0
Кто может сформулировать тему сегодняшнего урока?(Интеренет среди нас)
А знаете ли вы что такое интернет? (Выссказывают свои версии)
Интернет - (от лат. inter - между и net - сеть), глобальная компьютерная сеть, связывающая между собой как пользователей компьютерных сетей, так и пользователей индивидуальных (в том числе домашних) компьютеров.
Актуализация опорных знаний
– 8 мин.
Выполните устно:
А) Найдите часть от числа:
3/4 от 16;
2/5 от 80;
7/10 от 120;
3/5 от 150;
6/11 от 121;
5/6 от 108
Б) Найдите число, если:
3/8 его равны 15;
2/5 его равны 30;
5/8 его равны 45;
4/9 его равны 36;
7/10 его равны 42;
2/11 его равны 99.
Закрепление и обобщение материала
. – 23 мин.
Как вы думаете, где и когда появился интернет? (высказывают мнения)
В 1957 году, после запуска Советским Союзом первого искусственного спутника Земли, Министерство обороны США посчитало, что на случай войны США нужна надёжная система передачи информации. Агентство по перспективным оборонным научно-исследовательским разработкам США предложило разработать для этого компьютерную сеть.
Сейчас мы решим несколько задач.
У Алены на личной странице на сайте «Одноклассники» загружено 140 фото. 2/7 от количества всех фото загружено в альбом «Личные фото», 1/4 - в альбом «Хобби», 3/35 - в альбом «Отдых», 5/28 – в альбом «Семья», а остальные – «На фото друзей». Сколько фото у Алены в каждом альбоме?
140: 7 * 2 = 40 (ф) «Личные фото»
140: 4 * 1 =35 (ф) «Хобби»
140: 35 * 3 =12 (ф) «Отдых»
140: 28 * 5 = 25 (ф) «Семья»
140 – 40 – 35 – 12 – 25=28 (ф) «На фото друзей»
У Миши в электронной почте 276 писем, что составляет 3/5 от числа писем в электронной почте Коли. На сколько у коли писем больше, чем у Миши?
276: 3 * 5 = 460
460 – 276 = 184.
На флеш – карте, рассчитанной на 4Г байта (1Г байт =1024 М байт) находятся различные файлы. Фото занимают 3/16 всей памяти, фильмы – на 1/8 часть (от всей памяти) больше, чем фото, текстовые документы – на 5/64 часть (от всей памяти) больше, чем фото. Сколько М байт приходится на каждый из файлов?
4 * 1024 = 4096
4096: 16 *3 =768(М байт) на фото
4096: 8 * 1=512
768 + 512 = 1280 (М байт) на фильмы
4096: 64 *5 = 320
320 +768 = 1088 (М байт) на текстовые документы.
Ребята, для чего вам нужен интернет?
Общение;
Информация;
Игры.
Какие вам известны социальные сети? (высказывают свое мнение)
Давайте назовем «плюсы» и «минусы» соцсетей:
«Плюсы»:
Общение;
Информация.
«Минусы»:
Негативное влияние на здоровье;
Интернет – зависимость;
Погружение в виртуальный мир;
Опасность от незнакомцев.
Давайте решим следующую задачу.
Среди учащихся 5 классов одной из школ проходило анкетирование на тему «Соцсети и дети». На вопрос «Сколько времени в день ты проводишь в интернете», 3/10 числа всех опрошенных школьников ответили «5 – 6 часов». Сколько школьников проводит это время в интернете ежедневно, если в опросе участвовали 150 детей?
150: 10 * 3 =45 (детей).
45 детей! Это очень большое число! Ведь ежедневно они тратят столько времени впустую, сидя за компьютером.
Ребята, а как вы думаете, какой вред здоровью может нанести длительное времяпрепровождение в интернете?
Возможные ответы учеников:
Ухудшение зрения;
Снижение двигательной активности;
Психологическое перенапряжение;
Человек теряет способность в общении;
Искривление позвоночника;
Головные боли;
Нарушение сна.
Вот видите сколько всего негативного можно заработать, сидя по несколько часов в интернете!
5. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания
. – 5 мин.
Что нового вы сегодня узнали на уроке?
Как вы считаете, какое время оптимально для провождения в интернете ежедневно?
Для чего вы в основном будите использовать интернет?
Считаете ли вы, что 5 – 6 часов в интернете каждый день – это норма?
Домашнее задание
: подготовить сообщение по теме «История возникновения интернета»
Объявление оценок.
Спасибо за урок!
§ 20. Отыскание части от целого и целого но его части - Учебник по Математикe 5 класс (Зубарева, Мордкович)
Краткое описание:
Бывает, что нам нужно найти какую-то часть от числа, например, с определенного числа картофеля почистить только третью его часть. Или наоборот, когда нам говорят, что только четверть класса пришла на экскурсию, нам нужно узнать какое же общее количество учеников класса. Зная целое, можно найти от него какую-то заданную часть, точно так же, зная часть, можно определить какое же было целое. Об этом сегодня вы и узнаете из этого параграфа учебника.Определение части от целого, и наоборот, напрямую связано с простыми дробями, которые вы уже изучали. Действия в таком случае происходят не с двумя числами, которые обозначаются дробью, а с одной дробью и одним целым числом. Например, найти 1/2 от 16 будет значить умножить 16 на 1/2, в этом случае знаменатель числа 16 = 1 и выражение можно записать как: 1/2 16/1 = 16/2 = 8.
Для нахождения целого числа по его части, используем обратный способ, и умножаем известное число на перевернутую дробь (то есть, делим на нее). По другому это можно объяснить так: для того, чтобы найти целое из его части, нужно то известное число, которое соответствует его части, разделить на числитель и умножить на знаменатель дроби, которая обозначает эту часть (что и является действием деления дроби, или умножения на перевернутую дробь – вы можете запомнить самый удобный для вас способ в решении таких задач). Таким образом, чтобы найти целое число, 3/4 которого равны 12, нужно 12: 3/4 = 12 4/3 = 48/3 = 16. Или способ №2, который убирает лишние математические действия – число х, 2/5 от которого равны 20: х = 20: 2 5 = 50.
Проверьте себя при выполнении заданий из учебника и не забудьте просмотреть материал, чтобы лучше его освоить и запомнить!
ОСНОВНЫЕ ТИПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ
I. НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИ ОТ ЦЕЛОГО
Чтобы найти часть (%) от целого, надо число умножить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).
ПРИМЕР:
В классе 32 ученика. Во время контрольной работы отсутствовало 12,5% учащихся. Найди, сколько учеников отсутствовало?
РЕШЕНИЕ 1:
Целое в этой задаче – общее количество учащихся (32).
12,5% = 0,125
32 · 0,125 = 4
РЕШЕНИЕ 2:
Пусть х учеников отсутствовали, что составляет 12,5%. Если 32 ученика –
общее количество учеников (100%), то
32 ученика – 100%
х учеников – 12,5%
ОТВЕТ: В классе отсутствовало 4 ученика.
II. НАХОЖДЕНИЕ ЦЕЛОГО ПО ЕГО ЧАСТИ
Чтобы найти целое по его части (%-ам), надо число разделить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).
ПРИМЕР:
Коля истратил в парке аттракционов 120 крон, что составило75% всех его карманных денег. Сколько было карманных денег у Коли до прихода в парк аттракционов?
РЕШЕНИЕ 1:
В этой задаче надо найти целое, если известна данная часть и значение
этой части.
75% = 0,75
120: 0,75 = 160
РЕШЕНИЕ 2:
Пусть х крон было у Коли, что составляет целое, т.е 100%. Если он потратил 120 крон, что составило 75%, то
120 крон– 75 %
х крон – 100 %
ОТВЕТ: У Коли было 160 крон.
III. ВЫРАЖЕНИЕ В ПРОЦЕНТАХ ОТНОШЕНИЯ ДВУХ ЧИСЕЛ
ТИПОВОЙ ВОПРОС:
СКОЛЬКО % СОСТАВЛЯЕТ ОДНА ВЕЛИЧИНА ОТ ДРУГОЙ?
ПРИМЕР:
Ширина прямоугольника 20м, а длина 32м. Сколько % составляет ширина от длины? (Длина является основой для сравнения)
РЕШЕНИЕ 1:
РЕШЕНИЕ 2:
В этой задаче длина прямоугольника 32м составляет 100%, тогда ширина 20м составляет х%. Составим и решим пропорцию:
20 метров – х %
32 метра – 100 %
ОТВЕТ: Ширина составляет от длины 62,5%.
NB! Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.
ПРИМЕР:
Ширина прямоугольника 20м, а длина 32м. Сколько % составляет длина от ширины? (Ширина является основой для сравнения)
РЕШЕНИЕ 1:
РЕШЕНИЕ 2:
В этой задаче ширина прямоугольника 20м составляет 100%, тогда длина 32м составляет х%. Составим и решим пропорцию:
20 метров – 100 %
32 метра – х %
ОТВЕТ: Длина составляет от ширины 160%.
IV. ВЫРАЖЕНИЕ В ПРОЦЕНТАХ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ
ТИПОВОЙ ВОПРОС:
НА СКОЛЬКО % ИЗМЕНИЛАСЬ (УВЕЛИЧИЛАСЬ, УМЕНЬШИЛАСЬ) ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ ВЕЛИЧИНА?
Чтобы найти изменение величины в % надо:
1) найти на сколько изменилась величина (без %)
2) разделить полученную величину из п.1) на величину, являющуюся основой для сравнения
3) перевести результат в % (выполнив умножение на 100%)
ПРИМЕР:
Цена платья снизилась с 1250 крон до 1000 крон. Найди на сколько процентов снизилась цена платья?
РЕШЕНИЕ 1:
2) Основа для сравнения здесь 1250 крон (т.е. то, что было изначально)
3)
ОТВЕТ: Цена платья уменьшилась на 20%.
NB! Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.
ПРИМЕР:
Цена платья повысилась с 1000 крон до 1250 крон. Найди на сколько процентов повысилась цена платья?
РЕШЕНИЕ 1:
1) 1250 –1000= 250 (кр) на столько изменилась цена
2) Основа для сравнения здесь 1000 крон (т.е. то, что было изначально)
3)
Решение задачи одним действием:
РЕШЕНИЕ 2:
1250 –1000= 250 (кр) на столько изменилась цена
В этой задаче первоначальная цена 1000 крон 100%, тогда изменение цены 250 крон составляет х%. Составим и решим пропорцию:
1000 крон – 100 %
250 крон – х %
х =
ОТВЕТ:
Цена платья увеличилась на 25%.
V. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ (ЧИСЛА)
ПРИМЕР:
Число уменьшили на 15%, а затем увеличили на 20%. Найди на сколько процентов изменилось число?
Самая распространенная ошибка: число увеличилось на 5 %.
РЕШЕНИЕ 1:
1) Хотя исходное число не дано, для простоты решения можно принять его за 100 (т.е. одно целое или 1)
2) Если число уменьшилось на 15%, то полученное число составит 85%, или от 100 это было бы 85.
3) Теперь полученный результат надо увеличить на 20%, т.е
85 – 100%
а новое число х – 120% (т.к. увеличилось на 20%)
х =
4)Таким образом в результате изменений число 100 (первоначальное) изменилось и стало 102, а это означает, что первоначальное число увеличилось на 2%
РЕШЕНИЕ 2:
1) Пусть исходное число Х
2) Если число уменьшилось на 15%, то полученное число составит 85% от Х, т.е. 0,85Х.
3) Теперь полученное число надо увеличить на 20%, т.е
0,85Х – 100%
а новое число? – 120% (т.к. увеличилось на 20%)
? =
4) Таким образом в результате изменений число Х (первоначальное), является основой для сравнения, а число 1,02Х(полученное), (см. IV тип решения задач), тогда
ОТВЕТ: Число увеличилось на 2%.
