Прогнозирование на основе экспоненциального сглаживания. Метод экспоненциального сглаживания

Простая и логически ясная модель временного ряда имеет следующий вид:

где b - константа, а ε - случайная ошибка. Константа b относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения значения b из данных состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем пред- предпоследним, и т.д. Простое экспоненциальное сглаживание именно так и построено. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса, при этом, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения ряда, а не только те, которые попали в определенное окно. Точная формула простого экспоненциального сглаживания имеет вид:

Когда эта формула применяется рекурсивно, каждое новое сглаженное значение (которое является также прогнозом) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного ряда. Очевидно, результат сглаживания зависит от параметра α . Если α равен 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если а равен 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения α между 0 и 1 дают промежуточные результаты. Эмпирические исследования показали, что простое экспоненциальное сглаживание весьма часто дает достаточно точный прогноз.

На практике обычно рекомендуется брать α меньше 0,30. Однако выбор а больше 0,30 иногда дает более точный прогноз. Это значит, что лучше все же оценивать оптимальное значение α по реальным данным, чем использовать общие рекомендации.

На практике оптимальный параметр сглаживания часто ищется с использованием процедуры поиска на сетке. Возможный диапазон значений параметра разбивается сеткой с определенным шагом. Например, рассматривается сетка значений от α =0,1 до α = 0,9 с шагом 0,1. Затем выбирается такое значение α , для которого сумма квадратов (или средних квадратов) остатков (наблюдаемые значения минус прогнозы на шаг вперед) является минимальной.

Microsoft Excel располагает функцией Экспоненциальное сглаживание (Exponential Smoothing), которая обычно используется для сглаживания уровней эмпирического временного ряда на основе метода простого экспоненциального сглаживания. Для вызова этой функции необходимо на панели меню выбрать команду Tools - Data Analysis. На экране раскроется окно Data Analysis, в котором следует выбрать значение Экспоненциальное сглаживание. В результате появится диалоговое окно Экспоненциальное сглаживание , представленное на рис. 11.5.

В диалоговом окне Exponential Smoothing задаются практически те же параметры, го и в рассмотренном выше диалоговом окне Moving Average.

1. Input Range (Входные данные) - в это поле вводится диапазон ячеек, содержащих значения исследуемого параметра.

2. Labels (Метки) - данный флажок опции устанавливается в том случае, если первая строка (столбец) во входном диапазоне содержит заголовок. Если заголовок отсутствует, флажок следует сбросить. В этом случае для данных выходного диапазона будут автоматически созданы стандартные названия.

3. Damping factor (Фактор затухания) - в это поле вводится значение выбранного коэффициента экспоненциального сглаживания α . По умолчанию принимается значение α = 0,3.

4. Output options (Параметры вывода) - в этой группе, помимо указания диапазона ячеек для выходных данных в поле Output Range (Выходной диапазон), можно также потребовать автоматически построить график, для чего необходимо установить флажок опции Chart Output (Вывод графика), и рассчитать стандартные погрешности, для чего нужно установить флажок опции Standart Errors (Стандартные погрешности).

Воспользуемся функцией Экспоненциальное сглаживание для повторного решения рассмотренной выше задачи, но уже с помощью метода простого экспоненциального сглаживания. Выбранные значения параметров сглаживания представлены на рис. 11.5. На рис. 11.6 показаны рассчитанные показатели, а на рис. 11.7 - построенные графики.

Тема 3. Сглаживание и прогнозирование временных рядов на основе трендовых моделей

Целью изучения данной темы является создание базовой основы подготовки менеджеров по специальности 080507 в области построения моделей различных задач в сфере экономики, формирования у студентов систематизированного подхода к постановке и решению задач прогнозирования. Предлагаемый курс позволит специалистам быстрее адаптироваться к практической работе, лучше ориентироваться в научно-технической информации и литературе по специальности, увереннее принимать решения, возникающие в работе. Основными задачами изучения темы являются: получение студентами углубленных теоретических знаний по применению моделей прогноза, приобретение ими устойчивых навыков выполнения научно-исследовательских работ, умение решать сложные научные проблемы, связанные с построением моделей, включая и многомерные, способности к логическому анализу полученных результатов и определению путей поиска приемлемых решений.

Достаточно простым методом выявления тенденции развития является сглаживание временного ряда, т. е. замена фактических уровней расчетными, имеющими меньшие вариации, чем исходные данные. Соответствующее преобразование называется фильтрованием . Рассмотрим несколько методов сглаживания.

3.1. Простые средние

Целью сглаживания является построение модели прогнозирования для последующих периодов, исходя из прошлых наблюдений. В методе простых средних за начальные данные принимаются значения переменной Y в моменты времени t , а прогнозное значение определяется как простое среднее на следующий временной период. Расчетная формула имеет вид

где n — число наблюдений.

В случае, когда становится доступным новое наблюдение, для прогнозирования на следующий период следует учесть и вновь полученный прогноз. При использовании этого метода прогноз осуществляется путем усреднения всех предыдущих данных, однако недостатком такого прогнозирования является трудность его использования в трендовых моделях.

3.2. Метод скользящих средних

Данный метод основан на представлении ряда в виде суммы достаточно гладкого тренда и случайного компонента. В основе метода лежит идея расчета теоретического значения на основе локального приближения. Для построения оценки тренда в точке t по значениям ряда из временного интервала рассчитывают теоретическое значение ряда. Наибольшее распространение в практике сглаживания рядов получил случай, когда все веса для элементов интервала равны между собой. По этой причине этот метод называют методом скользящих средних, так как при выполнении процедуры происходит скольжение окном шириной (2 m + 1) по всему ряду. Ширину окна обычно берут нечетной, так как теоретическое значение рассчитывается для центрального значения: количество слагаемых k = 2m + 1 с одинаковым числом уровней слева и справа от момента t.

Формула для расчета скользящей средней в этом случае принимает вид:

Дисперсия cкользящей средней определяется как σ 2 /k, где через σ 2 обозначена дисперсия исходных членов ряда, а k — интервал сглаживания, поэтому чем больше интервал сглаживания, тем сильнее усреднение данных и менее изменчива выделяемая тенденция. Чаще всего сглаживание производят по трем, пяти и семи членам исходного ряда. При этом следует учитывать следующие особенности скользящей средней: если рассмотреть ряд с периодическими колебаниями постоянной длины, то при сглаживании на основе скользящей средней с интервалом сглаживания, равным или кратным периоду, колебания полностью устранятся. Нередко сглаживание на основе скользящей средней столь сильно преобразует ряд, что выделенная тенденция развития проявляется лишь в самых общих чертах, а более мелкие, но важные для анализа детали (волны, изгибы и т. д.) исчезают; после сглаживания мелкие волны могут иногда поменять направление на противоположное — на месте «пиков» появляются «ямы», и наоборот. Все это требует осторожности в применении простой скользящей средней и заставляет искать более тонкие методы описания.

Метод скользящих средних не дает значений тренда для первых и последних m членов ряда. Этот недостаток особенно заметно сказывается в случае, когда длина ряда невелика.

3.3. Экспоненциальное сглаживание

Экспоненциальная средняя y t является примером асимметричной взвешенной скользящей средней, в которой учитывается степень старения данных: более «старая» информация с меньшим весом входит в формулу для расчета сглаженного значения уровня ряда

Здесь — экспоненциальная средняя, заменяющая наблюдаемое значение ряда y t (в сглаживании участвуют все данные, полученные к текущему моменту t ), α — параметр сглаживания, характеризующий вес текущего (самого нового) наблюдения; 0 < α <1.

Метод применяется для прогнозирования нестационарных временных рядов, имеющих случайные изменения уровня и угла наклона. По мере удаления от текущего момента времени в прошлое вес соответствующего члена ряда быстро (экспоненциально) уменьшается и практически перестает оказывать какое-либо влияние на значение .

Легко получить, что Последнее соотношение позволяет дать следующую интерпретацию экспоненциальной средней: если — прогноз значения ряда y t , то разность есть погрешность прогноза. Таким образом, прогноз для следующего момента времени t + 1 учитывает ставшую известной в момент t ошибку прогноза.

Параметр сглаживания α является взвешивающим фактором. В случае, если α близко к единице, то в прогнозе существенно учитывается величина ошибки последнего прогнозирования. При малых значениях α прогнозируемая величина близка к предыдущему прогнозу. Выбор параметра сглаживания представляет собой достаточно сложную проблему. Общие соображения таковы: метод хорош для прогнозирования достаточно гладких рядов. В этом случае можно выбрать сглаживающую константу путем минимизации ошибки прогноза на один шаг вперед, оцененной по последней трети ряда. Некоторые специалисты не рекомендуют использовать большие значения параметра сглаживания. На рис. 3.1 показан пример сглаженного ряда методом экспоненциального сглаживания при α= 0,1.

Рис. 3.1. Результат экспоненциального сглаживания при α =0,1
(1 — исходный ряд; 2 — сглаженный ряд; 3 — остатки)

3.4. Экспоненциальное сглаживание
с учетом тренда (метод Хольта)

В этом методе учитывается локальный линейный тренд, имеющийся во временных рядах. Если во временных рядах есть тенденция к росту, то вместе с оценкой текущего уровня необходима и оценка наклона. В методике Хольта значения уровня и наклона сглаживаются непосредственно путем использования различных постоянных для каждого из параметров. Постоянные сглаживания позволяют оценить текущий уровень и наклон, уточняя их всякий раз при появлении новых наблюдений.

В методе Хольта используются три расчетных формулы:

1. Экспоненциально сглаженный ряд (оценка текущего уровня)

(3.2)

1. Оценка тренда

(3.3)

1. Прогноз на р периодов вперед

(3.4)

где α, β — постоянные сглаживания из интервала .

Уравнение (3.2) похоже на уравнение (3.1) для простого экспоненциального сглаживания за исключением члена, учитывающего тренд. Постоянная β нужна для сглаживания оценки тренда. В уравнении прогноза (3.3) оценка тренда умножается на число периодов р , на которое строится прогноз, а затем это произведение складывается с текущим уровнем сглаженных данных.

Постоянные α и β выбираются субъективно или путем минимизации ошибки прогнозирования. Чем большие значения весов будут взяты, тем более быстрый отклик на происходящие изменения будет иметь место и большему сглаживанию подвергаются данные. Меньшие веса делают структуру сглаженных значений менее ровной.

На рис. 3.2 приведен пример сглаживания ряда по методу Хольта при значениях α и β , равных 0,1.

Рис. 3.2. Результат сглаживания по методу Хольта
при α = 0,1 и β = 0,1

3.5. Экспоненциальное сглаживание с учетом тренда и сезонных вариаций (метод Винтерса)

При наличии в структуре данных сезонных колебаний для уменьшения ошибок прогнозирования используется трехпараметрическая модель экспоненциального сглаживания, предложенная Винтерсом. Этот подход является расширением предыдущей модели Хольта. Для учета сезонных вариаций здесь применяется дополнительное уравнение, и полностью этот метод описывается четырьмя уравнениями:

1. Экспоненциально сглаженный ряд

(3.5)

1. Оценка тренда

(3.6)

1. Оценка сезонности

.

(3.7)

1. Прогноз на р периодов вперед

(3.8)

где α, β, γ — постоянные сглаживания для уровня, тренда и сезонности, соответственно; s - длительность периода сезонного колебания.

Уравнение (3.5) корректирует сглаженные ряды. В этом уравнении член учитывает сезонность в исходных данных. После учета сезонности и тренда в уравнениях (3.6), (3.7) оценки сглаживаются, а в уравнении (3.8) делается прогноз.

Так же, как и в предыдущем способе, веса α, β, γ могут выбираться субъективно или путем минимизации ошибки прогнозирования. Перед применением уравнения (3.5) необходимо определить начальные значения для сглаженного ряда L t , тренда T t , коэффициентов сезонности S t . Обычно начальное значение сглаженного ряда принимается равным первому наблюдению, тогда тренд равен нулю, а коэффициенты сезонности устанавливаются равными единице.

На рис. 3.3 показан пример сглаживания ряда по методу Винтерса.

Рис. 3.3. Результат сглаживания по методу Винтерса
при α = 0,1 ;β = 0,1; γ = 0,1 (1- исходный ряд; 2 — сглаженный ряд; 3 — остатки)

3.6. Прогнозирование на основе трендовых моделей

Довольно часто временные ряды имеют линейную тенденцию (тренд). При предположении линейной тенденции нужно построить прямую линию, которая наиболее точно отображала бы изменение динамики за рассматриваемый период. Есть несколько методов построения прямой линии, но наиболее объективным с формальной точки зрения будет построение, основанное на минимизации суммы отрицательных и положительных отклонений исходных значений ряда от прямой линии.

Прямую линию в системе двух координат (х,у) можно определить точкой пересечения одной из координат у и углом наклона к оси х. Уравнение такой прямой будет выглядеть как где a - точка пересечения; b — угол наклона.

Для того чтобы прямая отображала ход динамики, необходимо минимизировать сумму вертикальных отклонений. При использовании в качестве критерия оценки минимизации простой суммы отклонений получится не очень хороший результат, так как отрицательные и положительные отклонения взаимно компенсируют друг друга. Минимизация суммы абсолютных значений также не приводит к удовлетворительным результатам, поскольку оценки параметров в этом случае неустойчивы, имеются также вычислительные трудности при реализации такой процедуры оценивания. Поэтому наиболее часто используемой процедурой является минимизация суммы квадратов отклонений или метод наименьших квадратов (МНК).

Поскольку ряд исходных значений имеет колебания, то модель ряда будет содержать ошибки, квадраты которых надо минимизировать

где y i — наблюдаемое значение; y i * — теоретические значения модели; — номер наблюдения.

При моделировании тенденции исходного временного ряда с помощью линейного тренда примем, что

Поделив первое уравнение на n , приходим к следующему

Подставив полученное выражение во второе уравнение системы (3.10), для коэффициента b * получим:

3.7. Проверка соответствия модели

В качестве примера на рис. 3.4 приведен график линейной регрессии между мощностью автомобиля х и его стоимостью у .

Рис. 3.4. График линейной регрессии

Уравнение для этого случая имеет вид: у =1455,3 + 13,4 х . Визуальный анализ этого рисунка показывает, что для ряда наблюдений имеются значительные отклонения от теоретической кривой. График остатков показан на рис. 3.5.

Рис. 3.5. График остатков

Анализ остатков линии регрессии может представлять полезную меру того, насколько оцененная регрессия отражает реальные данные. Хорошая регрессия та, которая объясняет значительную долю дисперсии и, наоборот, плохая регрессия не отслеживает большую величину колебаний исходных данных. Интуитивно ясно, что всякая дополнительная информация позволит улучшить модель, т. е. уменьшить необъясненную долю вариации переменной у . Для анализа регрессионной проведем разложение дисперсии на составляющие. Очевидно, что

Последнее слагаемое будет равно нулю, так как представляет собой сумму остатков, поэтому приходим к следующему результату

где SS 0 , SS 1 , SS 2 определяют соответственно общую, регрессионную и остаточную суммы квадратов.

Регрессионная сумма квадратов измеряет часть дисперсии, объясняемую линейной зависимостью; остаточная — часть дисперсии, не объясняемую линейной зависимостью.

Каждая из этих сумм характеризуется соответствующим числом степеней свободы (ЧСС), которое определяет число единиц данных, независимых друг от друга. Иначе говоря, ЧСС связано с числом наблюдений n и числом вычисляемых по совокупности данных параметров. В рассматриваемом случае для расчета SS 0 определяется только одна постоянная (среднее значение), следовательно ЧСС для SS 0 составит (n – 1), ЧСС для SS 2 – (n – 2) и ЧСС для SS 1 составит n – (n – 1)=1 , так как в уравнении регрессии имеется n – 1 постоянных точек. Так же, как и суммы квадратов, ЧСС связаны соотношением

Суммы квадратов, связанные с разложением дисперсии, вместе с соответствующими ЧСС могут быть размещены в так называемой таблице анализа дисперсий (таблица ANOVA — ANalysis Of VAriance) (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Таблица ANOVA

Источник	Сумма квадратов		Средний квадрат
Регрессия			SS 2 / (n-2)

С помощью введенной аббревиатуры для сумм квадратов определим коэффициент детерминации как отношение суммы квадратов регрессии к общей сумме квадратов в виде

(3.13)

Коэффициент детерминации измеряет долю изменчивости переменной Y , которую можно объяснить с помощью информации об изменчивости независимой переменной X. Коэффициент детерминации изменяется от нуля, когда Х не влияет на Y, до единицы, когда изменение Y полностью объясняется изменением X.

3.8. Регрессионная модель прогноза

Лучшим считается прогноз, имеющий минимальную дисперсию. В нашем случае обычный МНК производит наилучший прогноз из всех методов, дающих несмещенные оценки на основе линейных уравнений. Ошибка прогноза, связанная с процедурой прогнозирования, может исходить от четырех источников.

Во-первых, случайная природа аддитивных ошибок, обрабатываемых линейной регрессией, гарантирует, что прогноз будет отклоняться от истинных величин даже если модель правильно специфицирована и ее параметры точно известны.

Во-вторых, сам процесс оценки вносит ошибку в оценку параметров — они редко могут быть равны истинным значениям, хотя равны им в среднем.

В-третьих, в случае условного прогноза (в случае неизвестных точно значений независимых переменных) ошибка вносится с прогнозом объясняющих переменных.

В-четвертых, ошибка может появиться из-за того, что спецификация модели неточна.

В итоге, источники ошибки можно классифицировать следующим образом:

1. природа переменной;
2. природа модели;
3. ошибка, вносимая прогнозом независимых случайных величин;
4. ошибка спецификации.

Будем рассматривать безусловный прогноз, когда независимые переменные легко и точно прогнозируются. Начнем рассмотрение проблемы качества прогноза с уравнения парной регрессии.

Постановку задачи в этом случае можно сформулировать следующим образом: каким будет наилучший прогноз y T+1 при условии, что в модели y = a + bx параметры а и b оценены точно, а значение x T+1 — известно.

Тогда прогнозное значение можно определить как

Ошибка прогноза при этом составит

.

Ошибка прогноза обладает двумя свойствами:

Полученная дисперсия минимальна среди всех возможных оценок, основанных на линейных уравнениях.

Хотя а и b известны, ошибка прогноза появляется за счет того, что у T+1 может не лежать на линии регрессии из-за ошибки ε T+1 , подчиняющейся нормальному распределению с нулевым средним и дисперсией σ 2 . Для проверки качества прогноза введем нормализованную величину

Тогда можно определить 95 %-ный доверительный интервал в следующем виде:

где β 0,05 — квантили нормального распределения.

Границы 95 %-ного интервала можно определить как

Отметим, что в этом случае ширина доверительного интервала не зависит от величины х, и границы интервала представляют собой прямые линии, параллельные линии регрессии.

Чаще при построении линии регрессии и проверке качества прогноза надо оценивать не только параметры регрессии, но и дисперсию ошибки прогноза. Можно показать , что в этом случае дисперсия ошибки зависит от величины (), где — среднее значение независимой переменной. Кроме того, чем больше длина ряда, тем точнее прогноз. Ошибка прогноза уменьшается, если значение X T+1 близко к средней величине независимой переменной, и, наоборот, при удалении от среднего значения прогноз становится менее точным. На рис. 3.6 показаны результаты прогноза с помощью уравнения линейной регрессии на 6 интервалов времени вперед вместе с доверительными интервалами.

Рис. 3.6. Прогноз по уравнению линейной регрессии

Как видно из рис. 3.6, эта линия регрессии недостаточно хорошо описывает исходные данные: наблюдается большая вариация относительно подгоночной прямой. О качестве модели можно судить также по остаткам, которые при удовлетворительной модели должны быть распределены примерно по нормальному закону. На рис. 3.7 приведен график остатков, построенный с помощью вероятностной шкалы.

Рис.3.7. График остатков

При использовании такой шкалы данные, подчиняющиеся нормальному закону, должны лежать на прямой линии. Как следует из приведенного рисунка, точки в начале и конце периода наблюдений несколько отклоняются от прямой линии, что свидетельствует о недостаточно высоком качестве выбранной модели в виде уравнения линейной регрессии.

В табл. 3.2 приведены результаты прогноза (вторая колонка) вместе с доверительными 95 %-ными интервалами (нижним — третья и верхним — четвертая колонки соответственно).

Таблица 3.2

Результаты прогноза

3.9. Многомерная регрессионная модель

При многомерной регрессии данные для каждого случая включают значения зависимой переменной и каждой независимой переменной. Зависимая переменная y — это случайная величина, связанная с независимыми переменными следующим соотношением:

где — коэффициенты регрессии, подлежащие определению; ε — компонент ошибки, соответствующий отклонению значений зависимой переменной от истинного соотношения (предполагается, что ошибки независимы и имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и неизвестной дисперсией σ ).

Для заданного набора данных оценки коэффициентов регрессии можно найти с помощью МНК. Если оценки МНК обозначить через , то соответствующая функция регрессии будет иметь вид:

Остатки являются оценками компонента ошибки и подобны остаткам в случае простой линейной регрессии.

Статистический анализ модели многомерной регрессии проводится аналогично анализу простой линейной регрессии. Стандартные пакеты статистических программ позволяют получить оценки по МНК для параметров модели, оценки их стандартных ошибок. Кроме того, можно получить значение t -статистики для проверки значимости отдельных слагаемых регрессионной модели и величину F -статистики для проверки значимости регрессионной зависимости.

Форма разбиения сумм квадратов в случае многомерной регрессии аналогична выражению (3.13), но соотношение для ЧСС будет следующим

Подчеркнем еще раз, что n представляет собой объем наблюдений, а k — число переменных в модели. Общая вариация зависимой переменной состоит из двух составляющих: вариации, объясненной независимыми переменными через функцию регрессии, и необъясненной вариации.

Таблица ANOVA для случая многомерной регрессии будет иметь вид, показанный в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Таблица ANOVA

Источник	Сумма квадратов		Средний квадрат
Регрессия			SS 2 / (n-k-1)

В качестве примера многомерной регрессии воспользуемся данными из пакета Statistica (файл данных Poverty.Sta) Приведенные данные основаны на сравнении результатов переписи 1960 и 1970 гг. для случайной выборки из 30 стран. Названия стран были введены как названия строк, а названия всех переменных этого файла приведены ниже:

POP_CHNG — изменение населения за 1960-1970 гг.;

N_EMPLD — количество людей, занятых в сельском хозяйстве;

PT_POOR — процент семей, живущих ниже уровня бедности;

TAX_RATE — ставка налога;

PT_PHONE — процент квартир с телефоном;

PT_RURAL — процент сельского населения;

AGE — средний возраст.

В качестве зависимой переменной выберем признак Pt_Poor , а в качестве независимых - все остальные. Рассчитанные коэффициенты регрессии между выделенными переменными приведены в табл. 3.4

Таблица 3.4

Регрессионные коэффициенты

Эта таблица показывает регрессионные коэффициенты (В ) и стандартизованные регрессионные коэффициенты (Beta ). С помощью коэффициентов В устанавливается вид уравнения регрессии, которое в данном случае имеет вид:

Включение в правую часть только этих переменных обусловлено тем, что лишь эти признаки имеют значение вероятности р меньше, чем 0,05 (см. четвертый столбец табл. 3.4).

Библиография

1. Басовский Л. Е. Прогнозирование и планирование в условиях рынка. – М.: Инфра - М, 2003.
2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Вып.1. Прогноз и управление. – М.: Мир, 1974.
3. Боровиков В. П., Ивченко Г. И. Прогнозирование в системе Statistica в среде Windows. – М.: Финансы и статистика, 1999.
4. Дюк В. Обработка данных на ПК в примерах. – СПб.: Питер, 1997.
5. Ивченко Б. П., Мартыщенко Л. А., Иванцов И. Б. Информационная микроэкономика. Часть 1. Методы анализа и прогнозирования. – СПб.: Нордмед-Издат, 1997.
6. Кричевский М. Л. Введение в искусственные нейронные сети: Учеб. пособие. – СПб.: СПб. гос. морской техн. ун-т, 1999.
7. Сошникова Л. А., Тамашевич В. Н., Уебе Г. и др. Многомерный статистический анализ в экономике. – М.: Юнити-Дана, 1999.

к.э.н., директор по науке и развитию ЗАО "КИС"

Метод экспоненциального сглаживания

Освоение новых и анализ известных управленческих технологий, которые позволяют повысить эффективность управления бизнесом, становится особенно актуальным для российских предприятий в настоящее время. Один из наиболее популярных инструментов - система бюджетирования, которая базируется на формировании бюджета предприятия с последующим контролем исполнения. Бюджет представляет собой сбалансированные краткосрочные коммерческие, производственные, финансовые и хозяйственные планы развития организации. Бюджет предприятия содержит целевые показатели, которые рассчитываются на основании прогнозных данных. Наиболее значимым прогнозом при составлении бюджета для любого предприятия является прогноз продаж. В предыдущих статьях был проведен анализ аддитивной и мультипликативной модели и рассчитан прогнозный объем продаж на следующие периоды.

При анализе временных рядов использовался метод скользящей средней, в котором все данные независимо от периода их возникновения являются равноправными. Существует другой способ, в котором данным приписываются веса, более поздним данным придается больший вес, чем более ранним.

Метод экспоненциального сглаживания в отличие от метода скользящих средних еще и может быть использован для краткосрочных прогнозов будущей тенденции на один период вперед и автоматически корректирует любой прогноз в свете различий между фактическим и спрогнозированным результатом. Именно поэтому метод обладает явным преимуществом над ранее рассмотренным.

Название метода происходит из того факта, что при его применении получаются экспоненциально взвешенные скользящие средние по всему временному ряду. При экспоненциальном сглаживании учитываются все предшествующие наблюдения - предыдущее учитывается с максимальным весом, предшествующее ему - с несколько меньшим, самое ранее наблюдение влияет на результат с минимальным статистическим весом.

Алгоритм расчета экспоненциально сглаженных значений в любой точке ряда i основан на трех величинах :

фактическое значение Ai в данной точке ряда i,
прогноз в точке ряда Fi
некоторый заранее заданный коэффициент сглаживания W, постоянный по всему ряду.

Новый прогноз можно записать формулой:

Расчет экспоненциально сглаженных значений

При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникает две проблемы: выбор коэффициента сглаживания (W), который в значительной степени влияет на результаты и определение начального условия (Fi). С одной стороны, для сглаживания случайных отклонений величину нужно уменьшать. С другой стороны, для увеличения веса новых измерений нужно увеличивать.

Хотя, в принципе, W может принимать любые значения из диапазона 0 < W < 1, обычно ограничиваются интервалом от 0,2 до 0,5. При высоких значениях коэффициента сглаживания в большей степени учитываются мгновенные текущие наблюдения отклика (для динамично развивающихся фирм) и, наоборот, при низких его значениях сглаженная величина определяется в большей степени прошлой тенденцией развития, нежели текущим состоянием отклика системы (в условиях стабильного развития рынка).

Выбор коэффициента постоянной сглаживания является субъективным. Аналитики большинства фирм при обработке рядов используют свои традиционные значения W. Так, по опубликованным данным в аналитическом отделе Kodak, традиционно используют значение 0,38, а на фирме Ford Motors - 0,28 или 0,3.

Ручной расчет экспоненциального сглаживания требует крайне большого объема монотонной работы. На примере рассчитаем прогнозный объем на 13 квартал, если имеются данные объема продаж за последние 12 кварталов, используя метод простого экспоненциального сглаживания.

Предположим, что на первый квартал прогноз продаж составил 3. И пусть коэффициент сглаживания W =0,8.

Заполним в таблице третий столбец, подставляя для каждого последующего квартала значение предыдущего по формуле:

Для 2 квартала F2 =0,8*4 (1-0,8)*3 =3,8
Для 3 квартала F3 =0,8*6 (1-0,8)*3,8 =5,6

Аналогично, рассчитывается сглаженное значение для коэффициента 0,5 и 0,33.

Расчет прогноза объема продаж

Прогноз объема продаж при W = 0.8 на 13 квартал составил 13.3 тыс.руб.

Эти данные можно представить в графической форме:

Экспоненциальное сглаживание

9 5. Метод экспоненциального сглаживания. Выбор постоянной сглаживания

При использовании метода наименьших квадратов для определения прогнозной тенденции (тренда) заранее предполагают, что все ретроспективные данные (наблюдения) обладают одинаковой информативностью. Очевидно, логичнее было бы учесть процесс дисконтирования исходной информации, то есть неравноценность этих данных для разработки прогноза. Это достигается в методе экспоненциального сглаживания путем придания последним наблюдения динамического ряда (то есть значениям, непосредственно предшествующим периоду упреждения прогноза) более значимых «весов» по сравнению с начальными наблюдениями. К достоинствам метода экспоненциального сглаживания следует также отнести простоту вычислительных операций и гибкость описания различных динамик процесса. Наибольшее применения метод нашел для реализации среднесрочных прогнозов .

5.1. Сущность метода экспоненциального сглаживания

Сущность метода состоит в том, что динамический ряд сглаживается с помощью взвешенной «скользящей средней», в которой веса подчиняются экспоненциальному закону. Другими словами, чем дальше от конца временного ряда отстоит точка, для которой вычисляется взвешенная скользящая средняя, тем меньше «участия она принимает» в разработке прогноза.

Пусть исходный динамический ряд состоит из уровней (составляющих ряда) y t , t = 1 , 2 ,...,n . Для каждыхm последовательных уровней этого ряда

(m

динамическому ряду с шагом, равным единице. Если m – нечетное число, а предпочтительно брать нечетное число уровней, поскольку в этом случае расчетное значение уровня окажется в центре интервала сглаживания и им легко заменить фактическое значение, то для определения скользящей средней можно записать следующую формулу:

			t+ ξ			t+ ξ
			∑ y i			∑ y i
			i= t− ξ			i= t− ξ
			2ξ + 1

где y t – значение скользящей средней для моментаt (t = 1 , 2 ,...,n );y i – фактическое значение уровня в моментi ;

i – порядковый номер уровня в интервале сглаживания.

Величина ξ определяется из продолжительности интервала сглаживания.

Поскольку

m =2 ξ +1

при нечетном m , то

ξ = m 2 − 1 .

Расчет скользящей средней при большом числе уровней можно упростить, определяя последовательные значения скользящей средней рекурсивно:

y t= y t− 1 +	yt + ξ	− y t − (ξ + 1 )
		2ξ + 1

Но исходя из того, что последним наблюдениям необходимо придать больший «вес», скользящее среднее нуждается в ином толковании. Оно заключается в том, что полученная с помощью усреднения величина заменяет не центральный член интервала усреднения, а его последний член. Соответственно этому последнее выражение можно переписать в виде

M i = Mi + 1		y i− y i− m

Здесь скользящая средняя, относимая к концу интервала, обозначена новым символом M i . По существу,M i равноy t , сдвинутому наξ шагов вправо, то естьM i = y t + ξ , гдеi = t + ξ .

Учитывая, что M i − 1 является оценкой величиныy i − m , выражение (5.1)

можно переписать в виде

				y i+ 1				M i − 1 ,
	M i , определяемой выражением (5.1).
где M i является оценкой
Если вычисления (5.2) повторять по мере поступления новой информации
и переписать в ином виде, то получим сглаженную функцию наблюдений:
	Q i= α y i+ (1 − α ) Q i− 1 ,
или в эквивалентной форме
	Q t= α y t+ (1 − α ) Q t− 1

Вычисления, проводимые по выражению (5.3) с каждым новым наблюдением, называются экспоненциальным сглаживанием. В последнем выражении для отличия экспоненциального сглаживания от скользящего среднего введено обозначение Q вместоM . Величинаα , являющаяся

аналогом m 1 , называется постоянной сглаживания. Значенияα лежат в

интервале [ 0 , 1 ] . Еслиα представить в виде ряда

α + α(1 − α) + α(1 − α) 2 + α(1 − α) 3 + ... + α(1 − α) n ,

то нетрудно заметить, что «веса» убывают по экспоненциальному закону во времени. Например, для α = 0 , 2 получим

0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,102 + 0,082 + …

Сумма ряда стремится к единице, а члены суммы убывают со временем.

Величина Q t в выражении (5.3) представляет собой экспоненциальную среднюю первого порядка, то есть среднюю, полученную непосредственно при

сглаживании данных наблюдения (первичное сглаживание). Иногда при разработке статистических моделей полезно прибегнуть к расчету экспоненциальных средних более высоких порядков, то есть средних, получаемых путем многократного экспоненциального сглаживания.

Общая запись в рекуррентной форме экспоненциальной средней порядка k имеет вид

Q t (k)= α Q t (k− 1 )+ (1 − α ) Q t (− k1 ).

Величина k изменяется в пределах1, 2, …, p ,p+1 , гдеp – порядок прогнозного полинома (линейного, квадратичного и так далее).

На основе этой формулы для экспоненциальной средней первого, второго и третьего порядков получены выражения

Q t (1 )= α y t + (1 − α ) Q t (− 1 1 );

Q t (2 )= α Q t (1 )+ (1 − α ) Q t (− 2 1 ); Q t (3 )= α Q t (2 )+ (1 − α ) Q t (− 3 1 ).

5.2. Определение параметров прогнозной модели методом экспоненциального сглаживания

Очевидно, что для разработки прогнозных значений на основе динамического ряда методом экспоненциального сглаживания необходимо вычислить коэффициенты уравнения тренда через экспоненциальные средние. Оценки коэффициентов определяются по фундаментальной теореме БраунаМейера, связывающей коэффициенты прогнозирующего полинома с экспоненциальными средними соответствующих порядков:

(− 1 )

aˆ p

α (1 − α )∞

−α )

j (p − 1 + j ) !

∑ j

p= 0

p! (k− 1 ) !j = 0

где aˆ p – оценки коэффициентов полинома степенир .

Коэффициенты находятся решением системы (p + 1 ) уравнений сp + 1

неизвестными.

Так, для линейной модели

aˆ 0 = 2 Q t (1 ) − Q t (2 ) ; aˆ 1 = 1 − α α (Q t (1 )− Q t (2 )) ;

для квадратичной модели

aˆ 0 = 3 (Q t (1 )− Q t (2 )) + Q t (3 );

aˆ 1 =1 − α α [ (6 −5 α ) Q t (1 ) −2 (5 −4 α ) Q t (2 ) +(4 −3 α ) Q t (3 ) ] ;

aˆ 2 = (1 − α α ) 2 [ Q t (1 )− 2 Q t (2 )+ Q t (3 )] .

Прогноз реализуется по выбранному многочлену соответственно для линейной модели

ˆyt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ ;

для квадратичной модели

ˆyt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ + aˆ 2 2 τ 2 ,

где τ – шаг прогнозирования.

Необходимо отметить, что экспоненциальные средние Q t (k ) можно вычислить только при известном (выбранном) параметре, зная начальные условияQ 0 (k ) .

Оценки начальных условий, в частности, для линейной модели

Q (1 )= a			1 − α
Q(2 ) = a− 2 (1 − α ) a

для квадратичной модели

Q (1 )= a

1 − α

+ (1 − α )(2 − α ) a

2(1− α )

(1− α )(3− 2α )

Q 0(2 ) = a 0−

2α 2

Q (3 )= a

3(1− α )

(1 − α )(4 − 3 α ) a

где коэффициенты a 0 иa 1 вычисляются методом наименьших квадратов.

Величина параметра сглаживания α приближенно вычисляется по формуле

α ≈ m 2 + 1 ,

где m – число наблюдений (значений) в интервале сглаживания. Последовательность вычисления прогнозных значений представлена на

	Расчет коэффициентов ряда методом наименьших квадратов
	Определение интервала сглаживания
	Вычисление постоянной сглаживания
	Вычисление начальных условий
	Вычисление экспоненциальных средних
	Вычисление оценок a 0 , a 1 и т.д.
	Расчет прогнозных значений ряда
	Рис. 5.1. Последовательность вычисления прогнозных значений

В качестве примера рассмотрим процедуру получения прогнозного значения безотказной работы изделия, выражаемой наработкой на отказ.

Исходные данные сведены в табл. 5.1.

Выбираем линейную модель прогнозирования в виде y t = a 0 + a 1 τ

Решение осуществим со следующими значениями начальных величин:

a 0 , 0 = 64, 2; a 1 , 0 = 31, 5; α = 0, 305.

Таблица 5.1. Исходные данные

Номер наблюдения, t

Длина шага, прогнозирования, τ

Наработка на отказ, y (час)

При этих значениях вычисленные «сглаженные» коэффициенты для

величины y 2 будут равны

= α Q (1 )− Q (2 )= 97 , 9 ;

[ Q (1 )− Q (2 )

31, 9 ,

1− α

при начальных условиях

1 − α

A 0 , 0 −

a 1, 0

= −7 , 6

1 − α

= −79 , 4

и экспоненциальных средних

Q (1 )= α y + (1 − α ) Q (1 )

25, 2;

Q (2 )

= α Q (1 )

+ (1 −α ) Q (2 ) = −47 , 5 .

«Сглаженная» величина y 2 при этом вычисляется по формуле

Q i (1 )

Q i (2 )

a 0 ,i

a 1 ,i

ˆyt

Таким образом (табл. 5.2), линейная прогнозная модель имеет вид

ˆy t + τ = 224, 5+ 32τ .

Вычислим прогнозные значения для периодов упреждения в 2 года (τ = 1 ), 4 года (τ = 2 ) и так далее наработки на отказ изделия (табл. 5.3).

Таблица 5.3. Прогнозные значенияˆy t

Уравнение	t + 2	t + 4	t + 6		t + 8		t + 20
регрессии	(τ = 1 )	(τ = 2 )	(τ = 3 )				(τ = 5 )
				τ =
ˆy t = 224, 5+ 32τ

Следует отметить, что суммарный «вес» последних m значений временного ряда можно вычислить по формуле

c = 1 − (m (− 1 ) m ) . m+ 1

Так, для двух последних наблюдений ряда (m = 2 ) величинаc = 1 − (2 2 − + 1 1 ) 2 = 0 , 667 .

5.3. Выбор начальных условий и определение постоянной сглаживания

Как следует из выражения

Q t= α y t+ (1 − α ) Q t− 1 ,

при проведении экспоненциального сглаживания необходимо знать начальное (предыдущее) значение сглаживаемой функции. В некоторых случаях за начальное значение можно взять первое наблюдение, чаще начальные условия определяются согласно выражениям (5.4) и (5.5). При этом величины a 0 , 0 ,a 1 , 0

и a 2 , 0 определяются методом наименьших квадратов.

Если мы не очень доверяем выбранному начальному значению, то, взяв большое значение постоянной сглаживания α черезk наблюдений, мы доведем

«вес» начального значения до величины (1 − α ) k << α , и оно будет практически забыто. Наоборот, если мы уверены в правильности выбранного начального значения и неизменности модели в течение определенного отрезка времени в будущем,α может быть выбрано малым (близким к 0).

Таким образом, выбор постоянной сглаживания (или числа наблюдений в движущейся средней) предполагает принятие компромиссного решения. Обычно, как показывает практика, величина постоянной сглаживания лежит в пределах от 0,01 до 0,3.

Известно несколько переходов, позволяющих найти приближенную оценку α . Первый вытекает из условия равенства скользящей и экспоненциальной средней

α = m 2 + 1 ,

где m – число наблюдений в интервале сглаживания. Остальные подходы связываются с точностью прогноза.

Так, возможно определение α исходя из соотношения Мейера:

α ≈ S y ,

где S y – среднеквадратическая ошибка модели;

S 1 – среднеквадратическая ошибка исходного ряда.

Однако использование последнего соотношения затруднено тем, что достоверно определить S y иS 1 из исходной информации весьма сложно.

Часто параметр сглаживания, а заодно и коэффициенты a 0 , 0 иa 0 , 1

подбирают оптимальными в зависимости от критерия

S 2 = α ∑ ∞ (1 − α ) j [ yij − ˆyij ] 2 → min

j= 0

путем решения алгебраической системы уравнений, которую получают, приравнивая к нулю производные

∂ S2		∂ S2		∂ S2
∂ a 0, 0		∂ a 1, 0		∂ a 2, 0

Так, для линейной модели прогнозирования исходный критерий равен

S 2 = α ∑ ∞ (1 − α ) j [ yij − a0 , 0 − a1 , 0 τ ] 2 → min.

j= 0

Решение этой системы с помощью ЭВМ не представляет никаких сложностей.

Для обоснованного выбора α также можно использовать процедуру обобщенного сглаживания, которая позволяет получить следующие соотношения, связывающие дисперсию прогноза и параметр сглаживания для линейной модели:

S п 2 ≈[ 1 + α β ] 2 [ 1 +4 β +5 β 2 +2 α (1 +3 β ) τ +2 α 2 τ 3 ] S y 2

для квадратичной модели

S п 2≈ [ 2 α + 3 α 3+ 3 α 2τ ] S y 2,

где β = 1 − α ;S y – СКО аппроксимации исходного динамического ряда.

Экспоненциальное сглаживание - способ сглаживания временных рядов, вычислительная процедура которого включает обработку всех предыдущих наблюдений, при этом учитывается устаревание информации по мере удаления от прогнозного периода. Иначе говоря, чем "старше" наблюдение, тем меньше оно должно влиять на величину прогнозной оценки. Идея экспоненциального сглаживания состоит в том, что по мере "старения" соответствующим наблюдениям придаются убывающие веса.

Данный метод прогнозирования считается весьма эффективным и падежным. Основные достоинства метода состоят в возможности учета весов исходной информации, в простоте вычислительных операций, в гибкости описания различных динамик процессов. Метод экспоненциального сглаживания дает возможность получить оценку параметров тренда, характеризующих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Наибольшее применение метод нашел для реализации среднесрочных прогнозов. Для метода экспоненциального сглаживания основным моментом является выбор параметра сглаживания (сглаживающей константы) и начальных условий.

Простое экспоненциальное сглаживание временных рядов, содержащих тренд, приводит к систематической ошибке, связанной с отставанием сглаженных значений от фактических уровней временного ряда. Для учета тренда в нестационарных рядах применяется специальное двухпараметрическое линейное экспоненциальное сглаживание. В отличие от простого экспоненциального сглаживания с одной сглаживающей константой (параметром) данная процедура сглаживает одновременно случайные возмущения и тренд с использованием двух различных констант (параметров). Двухпараметрический метод сглаживания (метод Хольта) включает два уравнения. Первое предназначено для сглаживания наблюденных значений, а второе -для сглаживания тренда:

где I - 2, 3, 4 - периоды сглаживания; 5, - сглаженная величина на период £; У, - фактическое значение уровня на период 1 5, 1 - сглаженное значение на период Ь-Ьг- сглаженное значение тренда на период 1 - сглаженное значение на период I- 1; А и В - сглаживающие константы (числа между 0 и 1).

Сглаживающие константы А и В характеризуют фактор взвешивания наблюдений. Обычно Л, В < 0,3. Так как (1 - А) < 1, (1 - В) < 1, то они убывают по экспоненциальному закону по мере удаления наблюдения от текущего периода I. Отсюда данная процедура получила название экспоненциально сглаживания.

Уравнение добавляется в общую процедуру для сглаживания тренда. Каждая новая оценка тренда получается как взвешенная сумма разности между последними двумя сглаженными значениями (текущая оценка тренда) и предыдущей сглаженной оценки. Данное уравнение позволяет существенно сократить влияние случайных возмущений на тренд с течением времени.

Прогнозирование с использованием экспоненциального сглаживания подобно процедуре "наивного" прогнозирования, когда прогнозная оценка на завтра полагается равной сегодняшнему значению. В данном случае в качестве прогноза на один период вперед рассматривается сглаженная величина на текущий период плюс текущее сглаженное значение тренда:

Данную процедуру можно использовать для прогнозирования на любое число периодов, на пример на т периодов:

Процедура прогнозирования начинается с того, что сглаженная величина 51 полагается равной первому наблюдению У, т.е. 5, = У,.

Возникает проблема определения начального значения тренда 6]. Существуют два способа оценки Ьх.

Способ 1. Положим Ьх = 0. Такой подход хорошо работает в случае длинного исходного временного ряда. Тогда сглаженный тренд за небольшое число периодов приблизится к фактическому значению тренда.

Способ 2. Можно получить более точную оценку 6, используя первые пять (или более) наблюдений временного ряда. На их основе гю методу наименьших квадратов решается уравнение У(= а + Ь х г. Величина Ь берется в качестве начального значения тренда.